Электрическая ёмкость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика
Электрическая ёмкость
C
Размерность

L-2M-1T4I2

Единицы измерения
СИ

фарад

СГС

сантиметр

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками[1].

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C = \frac{Q}{\varphi},

где Q — заряд, \varphi — потенциал проводника.

Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):

C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R,

где ε0 — электрическая постоянная, равная 8,854·10−12 Ф/м, εr — относительная диэлектрическая проницаемость.

Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac S d,

где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, εr — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

Электрическая ёмкость некоторых систем[править | править вики-текст]

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа 2φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца—Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)
Вид Ёмкость Комментарий
Плоский конденсатор  \varepsilon S /d S: Площадь
d: Расстояние
Коаксиальный кабель  \frac{2\pi \varepsilon l}{\ln \left( R_{2}/R_{1}\right) } l: Длина
R1
: Радиус
R2: Радиус
Две параллельные проволоки[2] \frac{\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{\pi \varepsilon l}{\ln \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) } a: Радиус
d: Растояние, d > 2a
Проволока параллельна стене[2] \frac{2\pi \varepsilon l}{\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{a}\right) }=\frac{2\pi \varepsilon l}{\ln \left( \frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) } a: Радиус
d: Растояние, d > a
l: Длина
Две параллельные
копланарные полосы[3]
\varepsilon l \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{ K\left(k \right) } d: Растояние
w1, w2: Ширина полос
km: d/(2wm+d)

k2: k1k2
K: Эллиптический интеграл
l: Длина

Два концентрических шара  \frac{4\pi \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} R1: Радиус
R2: Радиус
Два шара,
тот же самый радиус[4][5]
2\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right) }
=2\pi \varepsilon a\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}
=2\pi \varepsilon a\left\{ \ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln \left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}
a: Радиус
d: Растояние, d > 2a
D = d/2a
γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены[4] 4\pi \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } a: Радиус
d: Растояние, d > a
D = d/a
Шар  4\pi \varepsilon a a: Радиус
Круглый диск[6]  8\varepsilon a a: Радиус
Тонкая прямая проволока,
ограниченная длина[7][8][9]
 \frac{2\pi \varepsilon l}{\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} a: Радиус проволоки
l: Длина
Λ: ln(l/a)

Эластанс[править | править вики-текст]

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ. [10]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики.. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87-88. — 496 с. — 220 000 экз.
  • Г. Крон Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Шакирзянов Ф. Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28-29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  2. 1 2 Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Wiley, 1975. — P. 80.
  3. Analysis and computation of electric and magnetic field problems. — Pergamon Press, 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.
  4. 1 2 Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — Dover, 1873. — P. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.
  5. Rawlins, A. D. (1985). «Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres». IMA Journal of Applied Mathematics 34 (1): 119–120. DOI:10.1093/imamat/34.1.119.
  6. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Wiley, 1975. — P. 128, problem 3.3.
  7. Maxwell, J. C. (1878). «On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness». Proc. London Math. Soc. IX: 94–101. DOI:10.1112/plms/s1-9.1.94.
  8. Vainshtein, L. A. (1962). «Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas». Zh. Tekh. Fiz. 32: 1165–1173.
  9. Jackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799. DOI:10.1119/1.1302908. Bibcode:2000AmJPh..68..789J.
  10. Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509

Литература[править | править вики-текст]