Электромагнитный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

  • Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего A_i или \phi_i, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты A_0,A_1,A_2,A_3 или \phi_0,\phi_1,\phi_2,\phi_3, причём индексом 0 как правило обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В этой статье мы будем придерживаться первого обозначения.
  • В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.


В любой определенной инерциальной системе отсчета электромагнитный потенциал (A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3) распадается[1]на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал \phi \equiv A_0 и трехмерный векторный потенциал \vec A \equiv (A_x,A_y,A_z) \equiv (-A_1,-A_2,-A_3); эти потенциалы \phi\ и \vec A — и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трехмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряженность электрического поля выражается через ф, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряженность магнитного поля (магнитная индукция)[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное — всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трехмерных векторных обозначениях[3]:

\vec E = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t},
\vec B = \nabla \times \vec A,

где \vec E — напряженность электрического поля, \vec B — магнитная индукция (или — что в случае вакуума в сущности то же самое — напряженность магнитного поля), \nablaоператор набла, причём \nabla\phi \equiv \mathrm{grad}\, \phiградиент скалярного потенциала, а \nabla\times\vec A \equiv \mathrm{rot}\, \vec Aротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырехмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu},

где F_{\mu \nu} — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z.

Приведенное выражение является обобщением выражения ротора для случая четырехмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, компоненты A_0,A_1,A_2,A_3 преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл[править | править вики-текст]

Физический смысл четырехмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы [4] (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал дает добавку в фазу \varphi волновой функции частицы:

\Delta \varphi = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i dx^i = - \frac{1}{\hbar}\int q A_i u^i d\tau,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя 1/\hbar, а в системе единиц, где \hbar= 1 — просто совпадает с ней). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова-Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление A^i \equiv (A^0,\ A^1,\ A^2, A^3) = (\phi,\ A_x,\ A_y,\ A_z) отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: (i\ \phi,\ A_x,\ A_y,\ A_z).
  2. В этой статье мы рассматриваем лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
  3. В зависимости от используемой системы физических единиц, в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырехмерный электромагнитный потенциал с трехмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.
  4. Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.