Группа кватернионов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Диаграмма циклов группы Q. Каждый цвет отражает последовательность степеней некоторого элемента. Например, красный цикл отражает тот факт, что i 2 = −1, i 3 = −i  и i 4 = 1, а также (−i )2 = −1, (−i )3 = i  и (−i )4 = 1.

В теории групп группа кватернионов — это неабелева[en]* группа восьмого порядка, изоморфная набору из восьми кватернионов с операцией умножения. Она часто обозначается буквой Q или Q8, и определяется заданием группы

где 1 — единичный элемент, а элемент −1 коммутирует с остальными элементами группы.

Граф Кэли[править | править вики-текст]

Группа Q8 имеет тот же порядок, что и диэдрическая группа D4[en], но имеет другую структуру, что можно видеть на графах Кэли и диаграммах циклов:

Граф Кэли Граф циклов
Cayley graph Q8.svg
Q8
Красные стрелки обозначают умножение справа на i, а зелёные — умножение справа на j.
Dih 4 Cayley Graph; generators a, b; prefix.svg
D4
Диэдрическая группа
GroupDiagramMiniQ8.svg
Q8
Dih4 cycle graph.svg
Dih4

Диэдрическая группа D4 получается из сплит-кватернионов[en] таким же образом, что и Q8 из кватернионов.

Таблица Кэли[править | править вики-текст]

Таблица Кэли (таблица умножения) для Q[1]:

Q×Q 1 −1 i i j j k k
1 1 −1 i i j j k k
−1 −1 1 i i j j k k
i i i −1 1 k k j j
i i i 1 −1 k k j j
j j j k k −1 1 i i
j j j k k 1 −1 i i
k k k j j i i −1 1
k k k j j i i 1 −1

Умножение шести мнимых единиц {±i, ±j, ±k} действует как векторное произведение единичных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве.

Свойства[править | править вики-текст]

Группа кватернионов имеет необычное свойство гамильтоновости[en] — любая подгруппа группы Q является нормальной подгруппой, и при этом сама группа не является абелевой.[2] Любая гамильтонова группа содержит копию группы Q.[3]

Можно построить четырёхмерное векторное пространство с базисом {1, i, j, k} и превратить его в ассоциативную алгебру с использованием приведённой выше таблицы умножения базисных векторов и продолжив операцию умножения по дистрибутивности. Полученная алгебра будет телом кватернионов. Заметим, что это не то же самое, что и групповая алгебра Q (которая имеет размерность 8). Обратно, можно начать с кватернионов и определить группу кватернионов как мультипликативную подгруппу, состоящую из восьми элементов {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}. Комплексное четырёхмерное векторное пространство с тем же базисом называется алгеброй бикватернионов.

Заметим, что i, j и k имеют порядок 4 в Q и любые два из них порождают всю группу. Другое задание группы Q[4], показывающее это:

Можно, например, взять i = x, j = y и k = xy.

Центром и коммутантом группы Q является подгруппа {±1}. Факторгруппа Q/{±1} изоморфна четверной группе Клейна V. Группа внутренних автоморфизмов группы Q изоморфна факторгруппе Q по центру, и потому также изоморфна четверной группе Клейна. Полная группа автоморфизмов группы Q изоморфна S4, симметрической группе четырёх букв. Группой внешних автоморфизмов[en] группы Q является S4/V, которая изоморфна S3.

Матричное представление[править | править вики-текст]

Группа кватернионов как подгруппа SL(2,C)

Группа кватернионов может быть представлена как подгруппа полной линейной группы GL2(C). Представление

определяется матрицами[5]

Поскольку все из приведённых выше матриц имеют единичные определители, они задают представление группы Q в специальной линейной группе SL2(C).

Группа кватернионов как подгруппа SL(2,3)

Существует также важное действие группы Q на восьми ненулевых элементах двумерного векторного пространства над конечным полем F3. Представление

определяется матрицами

где {−1,0,1} — три элемента поля F3. Поскольку определитель всех матриц над полем F3 равен единице, это является представлением группы Q в специальной линейной группе SL(2, 3). Более того, группа SL(2, 3) имеет порядок 24, а Q является нормальной подгруппой группы SL(2, 3) с индекса 3.

Группа Галуа[править | править вики-текст]

Как показал Ричард Дин (Richard Dean) в 1981 году, группа кватернионов может быть задана как группа Галуа Gal(T/Q), где Q является полем рациональных чисел, а T является полем разложения многочлена

над Q.

Доказательство использует основную теорему теории Галуа, а также две теоремы о циклических расширениях степени 4.[6]

Обобщённая группа кватернионов[править | править вики-текст]

Группа называется обобщённой группой кватернионов (или дициклической группой), если она имеет задание [4]

для некоторого целого n ≥ 2. Эта группа обозначается как Q4n и имеет порядок 4n.[7] Коксетер обозначил эти дициклические группы как <2,2,n>, рассматривая их как частный случай бинарной полиэдральной группы[en] <l,m,n>, связанной с полиэдральными группами[en] (p,q,r) и диэдральной группой (2,2,n). Обычная кватернионная группа соответствует случаю n = 2. Обобщённая кватернионная группа изоморфна подгруппе группы GL2(C), порождённой элементами

и

где ωn = eiπ/n[4]. Она также изоморфна группе, порождённой [8] кватернионами x = eiπ/n и y = j.

Теорема Брауэра — Сузуки[en] утверждает, что группы, для которых силовские 2-подгруппы являются обобщёнными кватернионами, не могут быть простыми.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См. также a table таблицу на сайте Wolfram Alpha
  2. См. книгу Холла (1999), p. 190
  3. Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — С. 57.
  4. 1 2 3 Johnson, 1980, с. 44-45.
  5. Artin, 1991.
  6. Dean, Richard (1981). "A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions". The American Mathematical Monthly 88 (1): 42–45. JSTOR 2320711.
  7. Некоторые авторы (например, Rotman 1995, pp. 87, 351) называют эту группу дициклической группой, оставляя название обобщённая группа кватернионов для случая, когда n является степенью двойки.
  8. Brown, 1982, с. 98.

Литература[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]