Шестнадцатиячейник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шестнадцатиячейник
Schlegel wireframe 16-cell.png
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли {3,3,4}
Ячеек 16
Граней 32
Рёбер 24
Вершин 8
Вершинная фигура Правильный октаэдр
Двойственный политоп Тессеракт
Проекция вращающегося шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство

Шестнадцатияче́йник[1] — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб[2] (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[3]. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

Описание[править | править вики-текст]

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных четырёхмерных пирамиды, приложенные друг к другу своими октаэдрическими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду[en], построенную на двух квадратах.

В координатах[править | править вики-текст]

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек чьи координаты удовлетворяют уравнению

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

Ортогональные проекции на плоскость[править | править вики-текст]

4-cube t3.svg
4-demicube t0 D4.svg
4-cube t3 B2.svg
4-cube t3 F4.svg
4-cube t3 A3.svg

Метрические характеристики[править | править вики-текст]

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

Заполнение пространства[править | править вики-текст]

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]