Изотопия

Изотопия — это гомотопия $f_{t}:X\to Y,t\in [0,1]$, для которой при любом $t$ отображение $f_{t}$ является гомеоморфизмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Определение

Изотопия многообразия $M$ — гладкое отображение $f:[0,1]\times M\to M$ такое, что каждое $f_{t}:M\to M$ является диффеоморфизмом, где $f_{t}(x)=f(t,x)$ и $f_{t}$ не зависит от $t$ в некоторых окрестностях 0 и 1 ($f_{t}$ — тождественное отображение).

Изотопия $f$ называется эквивариантной, если оно коммутирует с действием группы. Точнее если $f^{G}=M,$ где $f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And \,g\in G\}.$ Предполагается, что группа $G$ гладко действует на $M$.

Множество $f^{G}$ является замкнутым инвариантным подпространством многообразия $M$ (подпространством эквивариантности изотопии $f$).

Связанные определения

• Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии $f_{t}:X\to Y$ называется изотопия пространства $F_{t}:Y\to Y$ такая, что $F_{t}|_{X}\equiv f_{t}$
• Два вложения $f_{0},f_{1}:X\to Y$ называются изотопными если существует накрывающая изотопия $F_{t}:Y\to Y$, для которой $F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)$.
• Пространства $X$ и $Y$ называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения $f:X\to Y,\ g:Y\to X$ такие, что композиции $g\circ f:X\to X$ и $f\circ g:Y\to Y$ изотопны тождественным отображениям.
  • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например $n$-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
  • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

Свойства

• Изотопия является отношением эквивалентности.
• Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
• Существуют диффеоморфизмы сферы $S^{n}$ на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности $n+1$.