Кардиоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
EpicycloidK1.gif

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом[1]. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Уравнения[править | править код]

Порождение кардиоиды и используемая система координат

Пусть  — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах[2]:

  • В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

Свойства[править | править код]

равна:
  • Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах
равна:
.

Радиус кривизны любой линии:

Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:

Обобщение[править | править код]

Три улитки Паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная , красная (кардиоида) и синяя

История[править | править код]

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon).

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «кардиоида»
  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М.: Физматлит, 1960. — С. 230—233. — 293 с.. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
  • Кардиоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 130—131. — 352 с.