Опера́тор на́бла — векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).
Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат[1] оператор набла определяется следующим образом:
,
где
— единичные векторы по осям
соответственно.
Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:
.
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ
используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далёких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).
Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве[2] следующего вида:
,
где
— единичные векторы по осям
соответственно.
Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку:
— чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного
.
- Иногда (особенно когда речь идёт только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.
- Замечание: в физике в наше время[когда?] название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.
Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.
Если умножить
на функцию
, то получится вектор
,
который представляет собой градиент функции
.
Если вектор
скалярно умножить на вектор
, получится скаляр
,
то есть дивергенция вектора
.
Если
умножить на
векторно, то получится ротор вектора
:
![{\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70ec7f82bd7372741184e3d03c447f62b05ae3a)
- Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо
нередко пишут
, а вместо
пишут
; это касается и формул, приводимых ниже.
Соответственно, скалярное произведение
есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также
. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:
.
Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436bd5aa6c5e5d3438491ea7905632af487205cd)
![{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14439d97284afe19f150986946c936177f11417e)
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.
Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:
![{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}={\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}\cdot \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d2309770bac4a4e48e7919ba03d86cd44b9d8)
Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.
Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4faaf04266e0c4bcdb6dc7aa06d68d91017379)
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedf8c32a05f386e1d2b6e1b470009cd219a50e9)
![{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03af83ef5fc369cead03b5cc0326010c8d2d1ca)
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5f392c4699d76ac298c0505e28832062af8b7d)
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aade929da8a23de95c020bb44ba217eb678947c)
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1051599973ca65cbe876cdca8051715120fd53)
![{\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad9f0f09d91b9aa1194a533318eea8e4b46d42d)
Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы.
Два из них всегда равны нулю:
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22e6e8bbf92dc1657f033c50f5dd289e0cd5f00)
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a8fe31d37d3e1637c13db231e87d397e6184df)
Два всегда совпадают:
![{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b348dde9b3049194db867651fe5b7f8326fd49b9)
Три оставшихся связаны соотношением:
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759b8205c7045b55860c45da6daba77fdab18e14)
Ещё одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:
![{\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f483fa07f50e07f01ed8fcbf068c129eb103861)
Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием
не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,
он не коммутирует с векторами:
,
ведь
— это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а
представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля
.
Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:
![{\displaystyle (\nabla \cdot {\vec {v}})f\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bbf82cd06e3123c1ca38fdb0479e2f2e76adf3)
так как
![{\displaystyle (\nabla \cdot {\vec {v}})f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1701082ef9a347498b17f82dea8af88417e6a1c)
![{\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla )f=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6732a18bff91b45197725db0f0095f01b6cb045c)
Если бы набла был вектором, то смешанное произведение
было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.
Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:
![{\displaystyle =({\vec {i}}\cdot 1+{\vec {j}}\cdot 0+{\vec {k}}\cdot 0)\times ({\vec {i}}\cdot 0+{\vec {j}}\cdot 1+{\vec {k}}\cdot 0)={\vec {i}}\times {\vec {j}}={\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa80e0825133bfa36fc527b60d19185607df16f7)
(здесь первый оператор набла действует только на поле
, а второй — только на поле
, что как бы жёстко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:
![{\displaystyle ({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})=xy{\vec {0}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc62f1562db8e0267744e98dac691f6a92223b0d)
поскольку здесь
и
легко выносятся.
Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:
![{\displaystyle (\nabla ,[{\vec {u}},{\vec {v}}])=(\nabla ,[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}},{\vec {v}}])+(\nabla ,[{\vec {u}},{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])={\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f60283b13a0a547e93d1dc42332900bed7b47b)
Если оператор не действует на некоторое поле, то вектор поля и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют). Векторы в смешанных произведениях примера вынесены влево от оператора и конечное выражение записано без стрелочек.
В 1853 году Уильям Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ
в виде перевёрнутой греческой буквы
(дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла[3].
Согласно некоторым источникам[4],
— буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы, так как «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа». Наблий — разновидность арфы[5].
![{\displaystyle f=xy,\,\,\nabla f={\partial f \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial f \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085a7c9ba51edd122f01b86a1b80e63ca3b86d00)
![{\displaystyle f=30yx^{3},\,\,\nabla f={\partial f \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial f \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c1ffb5eff6b8a7d4f98a7b7f3ba161c226730f)
- ↑ В других система координат — см. по ссылке ниже.
- ↑ Эта размерность n, то есть размерность пространства, на поля в котором действует оператор, указывается явно или подразумевается из формулировки соответствующей теории или задачи.
- ↑ «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», В. Р. Гаврилов, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
- ↑ Мантуров О. В. и др. Математика в понятиях, определениях и терминах / Под ред. Л. В. Сабинина. — Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.
- ↑ Столяров А. Примечания // Сенкевич Г. Камо грядеши. — Л.: Лениздат, 1990. — С. 692.