Вектор (математика)

Вектор $\overrightarrow{AB}$

Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Понятие вектора в абстрактной алгебре

Пусть $\mathfrak F= \langle F;+,* \rangle$ — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть $\mathfrak V= \langle V;+ \rangle$ — некоторая абелева группа с единицей $\mathbf 0$. Если существует операция $F \times V \to V$, такая что для любых $a,b \in F$ и для любых $\mathbf x ,\mathbf y \in V$ выполняются соотношения:

1. $(a+b)\mathbf x=a\mathbf x + b\mathbf x$,

2. $a(\mathbf x + \mathbf y )=a\mathbf x + a\mathbf y$,

3. $(a*b)\mathbf x = a(b\mathbf x )$,

4. $1\mathbf x =\mathbf x$,

тогда $\mathfrak V$ называется векторным пространством над полем $\mathfrak F$, элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция $F \times V \to V$ — умножением вектора на скаляр.

Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространстве
Является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве $\mathfrak F= \mathfrak R = \langle R;+,* \rangle$ взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. $\mathfrak V=\mathfrak R^n= \langle R^n;+ \rangle$, где $R^n$ — декартова степень множества R; для $\mathfrak V$ операцию «+» зададим следующим образом: $(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n)$, нейтральный элемент: $\mathbf 0$=(0,…,0), обратный элемент: $-(a_1,...,a_n)=(-a_1,...,-a_n)$; операцию умножения на скаляр: $a(a_1,...,a_n)=(a*a_1,...,a*a_n)$. Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства $\mathfrak R^n$ над полем действительных чисел $\mathfrak R$.

n-мерное пространство задается как $R^n$ — декартова степень множества действительных чисел, точка -как кортеж $(a_1,...,a_n)$ длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в геометрии(связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор - вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор $\mathbf a$ с началом в точке $M_0=(m_1,...,m_n)$, заданный свободным вектором с пространственными координатами $(a_1,...,a_n)$ — множество точек $(x_1,...,x_n)$, удовлетворяющее условию:

$\frac{x_1-m_1}{a_1}=\frac{x_2-m_2}{a_2}=...=\frac{x_n-m_n}{a_n}$

Отрезок MN  — множество всех точек O(удовлетворяющих условию $min(x_{i_M},x_{i_N}) \leqslant x_{i_O} \leqslant max(x_{i_M},x_{i_N}), 1 \leqslant i \leqslant n$), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство $R^n$ становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трехмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: $\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$, [1]
(где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$)

Длина вектора: $|\mathbf a|=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 }$, [2]
(где $X_i$ — пространственные координаты вектора.)

Угол между 2-мя векторами $\mathbf a,\mathbf b$(где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$) определяется через скалярное произведение:
$\cos \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{|\mathbf a||\mathbf b|}$, [3]

Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}\in L$, то $\forall \vec{x}\in L \exists \alpha_1,..,\alpha_n\in F: \vec{x} = \sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{e_i}$, где $F$ — это поле, над которым определенно линейное пространство $L$.

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}$ и $\vec{f_1},...,\vec{f_n}$. Причём: $\vec{e_i} = \sum_{j=1}^n p_{ij} \vec{f_j}$. Матрица $P_{ef}$, полученная из коэффициентов $p_{ij}$ называться матрицей перехода от базиса $e$ а базису $f$ и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: $\vec{x_e}= P_{ef} \vec{x_f}$. Связь между матрицами перехода между двумя базисами: $P_{ef} = P_{fe}^{-1}$. Вектора могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис $\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n$ и в нём представлены вектора вектора $\vec{a}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i$, $\vec{b} = \sum_{i=1}^n \beta_i\vec{e}_i$, тогда суммой векторов $\vec{a} + \vec{b}$ будет называется следующий вектор: $\vec{a} + \vec{b} = \sum_{i=1}^n (\alpha_i+\beta_i)\vec{e}_i$.
Пусть есть число $\lambda$, тогда произведением вектора $\vec{a}$ на число $\lambda$ будет называться следующий вектор: $\lambda \vec{a} = \sum_{i=1}^n (\lambda \alpha_i) \vec{e_i}$
Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если $\exists \lambda \not= 0: \vec{a} = \lambda \vec{b}$.

Евклидовы и нормированные пространства

Функция $(\vec{a},\vec{b})$ (в другом обозначении $\vec{a}\cdot\vec{b}$), ставящая любым двум векторам $\vec{a}, \vec{b}$ в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Линейность по первому аргументу: $(\alpha\vec{a}_1+\beta \vec{a}_2,\vec{b}) = \alpha (\vec{a}_1,\vec{b}) + \beta (\vec{a}_2,\vec{b}) \forall \alpha, \beta \in F$
2. Эрмитова симметричность: $(\vec{a},\vec{b}) = \overline{(\vec{b},\vec{a})}$ (в случае если вектора определены над полем действительных чисел, то $(\vec{a},\vec{b}) = (\vec{b},\vec{a})$)
3. Положительная определённость: $\forall\vec{a} (\vec{a},\vec{a})\ge 0, (\vec{a},\vec{a}) = 0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a} = 0$ ,

называется скалярным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$. Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два не нулевых вектора $\vec{a}, \vec{b}$ называются ортогональными, если $(\vec{a},\vec{b}) = 0$.
Базис $\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n$ евклидова пространства называется ортогональным, если $\forall i,j (i \not = j) (\vec{e_i},\vec{e_j}) = 0$. Базис называется ортонормированным, если $(\vec{e_i},\vec{e_j}) = \delta_{ij}$, где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:
$(\vec{a},\vec{b}) = \vec{a}^TA_e\vec{b}$, где $A_e$ — матрица Грамма.
В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если $\vec{a}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i$, $\vec{b} = \sum_{i=1}^n \beta_i\vec{e}_i$, то
$(\vec{a},\vec{b}) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i$ в случае действительного пространства и $(\vec{a},\vec{b}) =\sum_{i=1}^n \alpha_i\overline{\beta_i}$ в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. $\|\vec{x}\|\ge 0 \forall \vec{x} \in L, \|\vec{x}\|=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{x} = \vec{0}$.
2. $\|\alpha \vec{x}\|=|\alpha|\|\vec{x}\| \forall \alpha \in F, \forall \vec{x} \in L$.
3. $\|\vec{x+y}\|\leqslant \|\vec{x}\|+\|\vec{y}\| \forall \vec{x},\vec{y} \in L$.

Угол $\phi$ между векторами $\vec{a}, \vec{b}$ определяется, как $cos\phi = \frac{(\vec{a},\vec{b})}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}$
.

Геометрическая интерпретация

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть вектора $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вводится следующим образом: пусть есть вектор $\vec{a}$ и число $\lambda$, тогда вектор $\lambda \vec{a}$ получается изменением длины вектора $\vec{a}$ в $\lambda$ раз. Направление вектора сохраняется, если $\lambda > 0$ и меняется, если $\lambda < 0$.

Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как $|\vec{a}|$.

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как $(\vec{a},\vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|cos(\phi)$. Скалярное произведение любого вектора $\vec{a}$ на единичный вектор есть проекция вектора $\vec{a}$ на направление единичного вектора.

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если найдутся точки $E$ и $F$ такие, что четырёхугольники $ABFE$ и $CDFE$ — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки $A, B, C, D$ располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Говорят, что свободные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$, не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если

• точки $A, B, C, D$ располагаются на одной прямой,
• векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\ \overrightarrow{CD}$ равны, если попарно совпадают точки $A$ и $C$, $B$ и $D$.

Вектором в зависимости от ситуации случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить по разному, в зависимости от ситуации и типа расматриваемых векторов:

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы $\vec{v+u}=\vec{u} + \vec{v}$ определяют по теореме косинусов $|\vec{u+v}|=\sqrt{|u|^2+|v|^2-2|u|\cdot |v|\cdot \cos \alpha},$ где $\alpha\,$ — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула $|\vec{u+v}|=\sqrt{|u|^2+|v|^2+2|u|\cdot |v|\cdot \cos \alpha},$ теперь $\alpha\,$ — угол между векторами выходящими из одной точки.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы $\vec{c}$ и $-\vec{c}$, расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, $\vec{b}$ и $-\vec{c}$ пересекаются. Поэтому определены векторы

$\vec{a}'=\vec{a}+\vec{c}, \quad \vec{b}'=\vec{b}-\vec{c}$

Прямые, на которых расположены векторы $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$, пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно понимать сумму векторов $\vec{a}'$ и $\vec{b}'$, и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не образуют пару.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $\vec{c}$ равна произведению длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на синус угла φ между ними

$\left| \vec c \right| = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \sin \varphi$

• вектор $\vec{c}$ ортогонален каждому из векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
• вектор $\vec{c}$ направлен так, что тройка векторов $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$ является правой.

Обозначение: $\vec c = \left[ \vec a \vec b \right] = \left[ \vec a, \vec b \right] = \vec a \times \vec b$

Геометрически векторное произведение $\vec a \times \vec b$ есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a, \vec b$, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е $\vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)$
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть $\lambda(\vec a \times \vec b) = (\lambda \vec a) \times \vec b = \vec a \times (\lambda \vec b)$
3. Векторное произведение обладает распределительным свойством: $(\vec a + \vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c$

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \left(\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]\right) = \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)$

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение $( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Обозначения

Вектор, представленный набором $n$ элементов (компонент) $a_1, a_2, \ldots, a_n$ допустимо обозначить следующим способами:

$\langle a_1, a_2, \ldots, a_n\, \rangle,\ \left ( a_1, a_2, \ldots, a_n\, \right )$.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

$\bar a,\ \vec a, \mathbf a, \mathfrak A,\ \mathfrak a.$

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

$\vec{a} + \vec{b}$.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

$k \vec{b}$,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Вектор как последовательность

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем счётный или конечный упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

См. также

• Векторная величина
• Векторное поле
• Векторное пространство
• Векторный анализ
• Нулевой вектор
• Псевдовектор
• Радиус-вектор
• Тензор

Литература

• Г. С. М. Коксетер (англ.), С. П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).