Value At Risk

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Value at Risk (VaR) — стоимостная мера риска. Распространено общепринятое во всём мире обозначение «VaR». Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью. Также называется показателем «16:15», ибо именно в это время он должен был быть на столе у главы правления банка J.P.Morgan. В этом банке показатель VaR и был впервые введен в обиход с целью повышения эффективности работы с рисками.

VaR характеризуется тремя параметрами:

  • Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам — 10 дней, по методике Risk Metrics — 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
  • Доверительный уровень (confidence level) — уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99 %, в системе RiskMetrics — 95 %.
  • Базовая валюта, в которой измеряется показатель.

VaR — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Мы уверены на X% (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y и есть VaR.

Бывает: 1) исторической, когда распределение доходностей берется из уже реализовавшегося временного ряда, то есть неявно предполагается, что доходности в будущем будут вести себя похожим на то, что уже наблюдалось, образом. 2) параметрической, когда расчеты проводятся в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего оно предполагается нормальным).

Параметрическая VaR[править | править вики-текст]

Пусть имеется n активов, стоимость которых V_i может случайным образом изменяться. Темпы возможного прироста стоимости активов обозначим r_i и назовем их доходностями. Обозначим r=(r_1,r_2,...,r_n) — вектор доходностей (случайных величин) этих активов и \Sigma=[\sigma_{ij}] — ковариационную матрицу (матрица ковариаций \sigma_{ij}) доходностей. Все доходности вычисляются для выбранного периода.

Портфель активов характеризуется вектором структуры d=(d_1,d_2,..., d_n), где d_i=V_i/\sum^n_{j=1}V_j=V_i/V_p — доля стоимости i-го актива в портфеле.

Тогда доходность портфеля выразится через доходности активов следующим образом:

r_p=d^Tr=\sum^n_{i=1}d_ir_i

Тогда ожидаемая (математическое ожидание) доходность портфеля выражается через ожидаемые доходности активов следующим образом:

\mu_p=E(r_p)=d^TE(r)=\sum^n_{i=1}d_iE(r_i)=\sum^n_{i=1}d_i \mu_i

а дисперсия портфеля будет равна

\sigma^2_p=V(r_p)=V(d^Tr)=d^T\Sigma d=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\sigma_{ij}d_id_j

Если предполагается нормальное распределение доходностей, то для заданной вероятности \alpha (например, 5 % или 1 %)

P(r_p< \mu_p -  u_{\alpha} \sigma_p)=\alpha

где u_{\alpha} — односторонняя \alpha-квантиль стандартного нормального распределения.

Следовательно, величина VaR оценивается как

VaR  =  - V_p  ( \mu_p -  u_{\alpha} \sigma_p ) ,

где знак минус перед формулой необходим для положительности полученного значения. Чаще всего ожидаемую «доходность» портфеля принимают равной нулю. Поэтому

VaR  =   V_p    \sigma_p u_{\alpha}

Замечание[править | править вики-текст]

На практике истинное значение ковариаций, в том числе дисперсий «доходностей» неизвестны. Они оцениваются по выборочным данным за длительный период по соответствующим формулам. При этом предполагается стационарность «доходностей» активов.

Условная VaR (CVaR)[править | править вики-текст]

Одним из последующих направлений развития методики построения портфельных рисков является CVaR — Conditional VaR[1] или Expected Shorfall (ES) (иногда также Average value at risk (AVaR) или Expected tail loss (ETL)) — средний ожидаемый (математическое ожидание) размер убытка (с данным уровнем риска, на данном горизонте), при условии, что он превысит соответствующее значение VaR. Если случайную величину возможных потерь обозначить X, то определение CVar

ES_{\alpha}=CVaR_{\alpha}=E(X|X>VaR_{\alpha})

Таким образом, если X \in L^p(\mathcal{F}) (где Lp (пространство)) — это потери портфеля в некотором будущем и 0 < \alpha < 1 тогда формула определения средних ожидаемых потерь:

ES_{\alpha}=CVaR_{\alpha} = \frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha} VaR_{\gamma}(X)d\gamma=\frac {1}{\alpha}\int^{-VaR_{\alpha}}_{- \infty} x p(x)dx,

где VaR_{\gamma} — Value at Risk уровня \gamma, p(x) — плотность распределения потерь.

В отличие от базового VaR, такая мера позволяет уже не только выделить нетипичный уровень потерь, но и показывает, что, скорее всего, произойдет при их реализации. CVaR уровня \alpha определяет ожидаемый возврат по портфелю в \alpha худших случаях. CVaR оценивает значение (или риск) инвестиций консервативным образом, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При больших значениях \alpha CVaR игнорирует самые прибыльные стратегии у которых мала вероятность наступления, при малых значениях \alpha CVaR строится на самых плохих сценариях. Значение q, которое часто используется на практике, составляет 5%.

В случае нормального распределения ES будет равен

ES_{\alpha}= \frac {1} {\alpha} \phi[\Phi^{-1}(\alpha)] \sigma_p

где \phi — плотность, а \Phi — интегральная функция стандартного нормального распределения (\Phi^{-1}(\alpha) — это квантиль уровня \alpha).

VaR в управлении рисками[править | править вики-текст]

Филипп Джорион писал : [17] «Наибольшая польза VAR заключается в наложении структурированной методологии для критического мышления о риске. Учреждения, которые проходят через процесс вычисления VAR, вынуждены встать перед фактом их подверженности финансовым рискам и создать надлежащие функции управления риском. Таким образом, процесс получения VAR может быть столь же важен, как и само число VAR»[2]. Существуют рекомендации по применению[3]

  • Убытки от одно- до трёх- кратной величины VaR убытки являются нормальным явлением. Распределение потерь обычно имеет высокие коэффициенты асимметрии и эксцесса, и можно получить больше, чем одно превышение в течение короткого периода времени. Кроме того, рынки могут быть анормальными и торговля может увеличить потери. Таким образом, учреждение, которое не может справиться 3-х кратными VaR потерями в качестве рутинного события, вероятно, не будет существовать достаточно долго для внедрения VaR системы.
  • Убытки от трёх- до десяти- кратной величины VaR являются диапазоном для стресс-тестирования. Учреждения должны быть уверены, что они изучили все известные события, которые вызывают потери в этом диапазоне, и готовы пережить их. Эти события слишком редки, чтобы оценить их вероятность надежно, поэтому расчеты риск / доходность бесполезны.
  • Прогнозируемые события не должны вызывать потери в десять раз большие, чем VaR. Если есть такие события, они должны быть хеджированы или застрахованы, или бизнес-план должен быть изменен, чтобы избежать их, или VaR должна быть увеличена. Есть, конечно, и непредвиденные убытки более чем в десять раз VaR, но вы не можете знать много о них, и их учет приводит к ненужным беспокойствам. Лучше надеяться, что дисциплина подготовки для всех известных три-десятикратных VaR потерь повысит шансы на выживание в случае непредвиденных и больших потерь, которые неизбежно возникают.

VaR в портфельной оптимизации[править | править вики-текст]

При решении задачи построения оптимального портфеля часто используются различные меры рисков, такие как дисперсия, VaR, CVaR, DaR, CDaR. Существуют различные постановки задач оптимизации где меры рисков используются как при построении целевых функций, так и для определения множества допустимых решений (ограничения)[4]. Для решения подобных задач на практике используются специализированные пакеты численной оптимизации, например, PSG.

См. также[править | править вики-текст]

  1. «CVAR», <http://www.master272.com/finance/QR/CVAR.pdf> 
  2. Соотношение риска Википедии — свободной энциклопедии
  3. Соотношение риска Википедии — свободной энциклопедии
  4. «Portfolio optimization by minimizing conditional value-at-risk», <http://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/portfolio_optimization_by_minimizing_conditional_value-at-risk.pdf>