Признак Ермакова

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Пусть для функции $f(x)$ выполняется:

1. $f(x)>0\;\forall x$ (функция принимает только положительные значения);
2. функция $f(x)$ монотонно убывает при $x\geqslant 1$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится, если при $x\geqslant x_{0}$ выполняется неравенство:

$\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda$,

где $\lambda <1$.

Если же $\varepsilon (x)\geqslant 1$ при $x\geqslant x_{0}$, то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть выполняется неравенство:

${\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .$

Домножим обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрируем, используя подстановку $t=e^{u}$:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,$

отсюда

$(1-\lambda )\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt,$

так как $e^{x}>x$, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на $1-\lambda$, получим:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt.$

Прибавив к обеим частям интеграл $\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}\,f(t)dt$, получим

$\int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=L.$

Учитывая, что $e^{x}>x$, при $x\geqslant x_{0}$

$\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.$

Поскольку с возрастанием $x$ и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при $x\to \infty$:

$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.$

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

${\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.$

Домножив обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрировав, используя в левой части подстановку $t=e^{u}$, получим:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt.$

Прибавим к обеим частям интеграл $\int \limits _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt$:

$\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\,dt=\gamma .$

Поскольку $x_{0}<e^{x_{0}}$, то $\gamma >0$. Определим теперь последовательность $\{x_{i}\}$ следующим образом:

$x_{i}=e^{x_{i-1}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots$

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

$\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .$

Суммируем этот интеграл по $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$:

$\int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\,dt=\sum _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,$

то есть этот интеграл неограничен при $n\to \infty$. Поэтому:

$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt=+\infty .$

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ также расходится. ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$\varepsilon =\lim _{x\to \infty }\varepsilon (x),$

то при $\varepsilon <1$ ряд сходится, а при $\varepsilon >1$ — расходится.

Обобщение

Пусть для функции $f(x)$ выполняется:

1. $f(x)>0\;\forall x$ (функция принимает только положительные значения);
2. функция $f(x)$ монотонно убывает при $x\geqslant 1$.

Возьмём некоторую функцию $\varphi (x)>x$, которая:

1. $\varphi (x)>0\;\forall x$ (функция принимает только положительные значения);
2. монотонно возрастает;
3. имеет непрерывную переменную.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится, если выполняется неравенство:

${\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)}}\leqslant \lambda <1$.

Если же

${\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)}}\geqslant 1$,

то ряд расходится.

Литература

• Ермакова признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Ermakoff's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.