Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} (в общем случае a n {\displaystyle a_{n}} и b n {\displaystyle b_{n}} — комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.
Ряд ∑ n = 1 ∞ a n b n ( a n , b n ∈ C ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} )} сходится, если: ряд ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})} абсолютно сходится; a n → 0 {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0} при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ; частичные суммы ряда ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} ограничены.
Ряд ∑ n = 1 ∞ a n b n ( a n , b n ∈ C ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},b_{n}\in \mathbb {C} )} сходится, если:
Произведение f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} ( f , g {\displaystyle f,g} непрерывны на ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} и f , g : [ a , b ] = I → R {\displaystyle f,g:[a,b]=I\rightarrow \mathbb {R} } ) интегрируемо на I {\displaystyle I} , если: F ( x ) = ∫ x b f ( s ) d s , a < x ⩽ b {\displaystyle F(x)=\int _{x}^{b}f(s)ds,a<x\leqslant b} ограничен на ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} ; g ′ ( x ) {\displaystyle g^{\prime }(x)} абсолютно интегрируема на I {\displaystyle I} ; lim x → a + 0 g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a+0}g(x)=0} .
Произведение f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)} ( f , g {\displaystyle f,g} непрерывны на ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} и f , g : [ a , b ] = I → R {\displaystyle f,g:[a,b]=I\rightarrow \mathbb {R} } ) интегрируемо на I {\displaystyle I} , если:
(в общем случае 
и 
— комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.
(
непрерывны на ![(a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6969e731af335df071e247ee7fb331cd1a57ae)
и ![f,g:[a,b]=I\rightarrow \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544fe1597af6be0f0d292e02ac50949eed967be4)
) интегрируемо на 
, если:
ограничен на ;
абсолютно интегрируема на ;
.
