Интегральный признак Коши — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы[править | править код]

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. (функция принимает неотрицательные значения)
  2. (функция монотонно убывает)
  3. (соответствие функции члену ряда)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство[править | править код]

Инт признак Коши.png

монотонна на

Следовательно сходится




нестрого монотонно возрастает

Обозначим

Пределы и  — конечные числа, следовательно и ограничены (идея)

Пусть сходится интеграл ограничена ограничена

Пусть теперь сходится сумма ограничена , так как если функция неотрицательна на некотором полуинтервале , то для сходимости интеграла необходимо и достаточно ограниченности всех интегралов , где

Примеры[править | править код]

  • расходится, так как .
  • сходится, так как .

Оценка остатка ряда[править | править код]

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.

См. также[править | править код]