Интегральный признак Коши — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегральный признак Коши́ – Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши – Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. (функция принимает неотрицательные значения)
  2. (функция монотонно убывает)
  3. (соответствие функции члену ряда)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.


Набросок доказательства[править | править вики-текст]

Инт признак Коши.png
  1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
  2. Площадь большей фигуры равна
  3. Площадь меньшей фигуры равна
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна
  5. Получаем
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • расходится так как .
  • сходится так как .

Оценка остатка ряда[править | править вики-текст]

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.

См. также[править | править вики-текст]