Интегральный признак Коши — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы[править | править код]

Пусть для функции выполняется:

  1. , т.е. функция принимает положительные значения на промежутке ;
  2. , т.е. функция является монотонно невозрастающей на ;
  3. (соответствие значения функции члену ряда).

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства[править | править код]

Инт признак Коши.png
  1. Построим на графике ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
  2. Площадь большей фигуры равна .
  3. Площадь меньшей фигуры равна .
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна
  5. Получаем
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Полное доказательство[править | править код]

монотонна на , следовательно существует.

, следовательно

.
Отсюда, если сходится, то

.
Поэтому ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.

Если расходится, то есть , то

значит ряд расходится.

Теорема доказана.

Примеры ("эталонные" ряды)[править | править код]

  • Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при , так как

(случай ),

при ,

при .

  • сходится при и расходится при . Для обоснования нужно рассмотреть .
  • На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.

Оценка остатка ряда[править | править код]

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

с помощью несложных преобразований получаем:

.

См. также[править | править код]