Телескопический признак

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. функция f(x) монотонно убывает при x \geqslant 1
  2. f(x)\geqslant 0 \ \forall x \geqslant 1 (функция принимает только неотрицательные значения)

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится, одновременно с рядом \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}).

Обобщение[править | править исходный текст]

Оскар Шлёмильх сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть:

  1. f(x) — монотонно убывающая при x \geqslant 1 функция
  2. f(x)\geqslant 0 \ \forall x \geqslant 1 (функция принимает только неотрицательные значения)
  3. \{u_n\} — строго возрастающая последовательность
  4. u_n>0 \ \forall n
  5. последовательность \{r_n\}=\left\{\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right\} ограничена

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty f(n) сходится или расходится, одновременно с рядом \sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) f(u_n).

Ссылки[править | править исходный текст]