Телескопический признак

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть для членов ряда выполняется:

  1. последовательность монотонно убывает
  2. — члены неотрицательны

Тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом .


Обобщение[править | править вики-текст]

Оскар Шлёмильх сформулировал следующее обобщение[1] телескопического признака.

Пусть:

  1. — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
  2. — последовательность неотрицательна
  3. — некоторая строго возрастающая последовательность
  4. (а значит, )
  5. последовательность ограничена

Тогда ряд сходится или расходится, одновременно с рядом .

Например, если рассматривать последовательность , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном , то согласно указанной теореме ряд сходится или расходится одновременно с рядом , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом при любой выбранной константе .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.