Признак Дюбуа-Реймона

Признак Дюбуа-Реймона — признак сходимости числовых рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ (в общем случае $a_{n}$ и $b_{n}$ — комплексные). Установлен Полем (Паулем) Дюбуа-Реймоном.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\ (a_{n},\;b_{n}\in \mathbb {C} )$ сходится, если:

• ряд $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ — сходится;
• ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a_{n+1})$ — абсолютно сходится.

Для несобственных интегралов

Произведение $f(x)g(x)$ ($f,\;g\colon I\to \mathbb {R}$) интегрируемо на $I$, если:

• $f(x)$ интегрируема на $[a,\;c]\ \forall c\geqslant a$ и $F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(s)\,ds$ ограничен на $I$;
• $g(x)$ дифференцируема на $[a,\;\infty )$ и $g'(x)$ абсолютно интегрируема на $I$;
• существует предел $\lim _{x\to \infty }F(x)g(x)$.

Литература

• И. М. Виноградов. Дюбуа-реймона признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — Т. 2.
• Bartle R. G. A modern theory of integration