Радикальный признак Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n

с неотрицательными членами существует такое число q, 0<q<1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

\sqrt[n]{{{a_n}}} \le q,

то данный ряд сходится; если же, начиная с некоторого номера

\sqrt[n]{{{a_n}}} \ge 1

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, \sqrt[n]{{{a_n}}} < 1, при этом не существует такого q , 0<q<1 , что \sqrt[n]{{{a_n}}}\leqslant q для всех n, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Предельная форма[править | править вики-текст]

Если существует предел

\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{{{a_n}}} ,

то рассматриваемый ряд сходится если \rho<1, а если \rho>1 — расходится.

Замечание 1. Если \rho=1, то радикальный признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если \rho=1, и последовательность \sqrt[n]{{{a_n}}} стремится к своему пределу \rho сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство[править | править вики-текст]

Прежде всего нужно отметить, что если признак Коши выполняется для последовательности \{ a\} , начиная с некоторого номера N, то можно рассмотреть подпоследовательность последовательности \{ a\} , как раз начиная с этого номера. Ряд, составленный из такой подпоследовательности, будет сходиться. Но тогда будет сходиться и исходный ряд, поскольку конечное число N-1 начальных членов последовательности \{ a\} не влияет на сходимость ряда. В таком случае для упрощения доказательства имеет смысл принять N=1, т.е. принять, что признак Коши выполняется для всех натуральных n.

  1. Пусть для всех натуральных n верно неравенство \sqrt[n]{{{a_n}}}\leqslant q, где 0<q<1. Тогда можно записать {a_1} \le q, \sqrt{{{a_2}}} \le q, ..., \sqrt[n]{{{a_n}}} \le q , и так далее. Поскольку и q , и все члены последовательности \{ a\} неотрицательны, систему неравенств можно переписать так: {a_1} \le q, {a_2} \le {q^2}, ..., {a_n} \le {q^n} , и так далее. Складывая первые n неравенств, получим {a_1} + ... + {a_n} \le q + ... + {q^n}. Это означает, что n-я частичная сумма ряда меньше n-й частичной суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом q . Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии сходится, поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов исходный ряд тоже сходится.
  2. Пусть \sqrt[n]{{{a_n}}}\ge1 (для всех натуральных n ): тогда можно записать a_n\ge1. Это означает, что модуль членов последовательности \{ a\} не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность \{ a\} не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется. Поэтому ряд расходится.
  3. Пусть \sqrt[n]{{{a_n}}}<1 для всех натуральных n. При этом не существует такого q , 0<q<1 , что \sqrt[n]{{{a_n}}}\leqslant q для всех натуральных n. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} и \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} верно \sqrt[n]{{|{a_n}|}} = \frac{1}{{\sqrt[n]{n}}} = {\left( {\frac{1}{n}} \right)^{\frac{1}{n}}} < 1 для любого натурального n, кроме n=1. В то же время, поскольку \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{{{a_n}}} = 1, это означает, что для любого q , 0<q<1 можно подобрать такое число \varepsilon, что 1 - \varepsilon  > q , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности \{ b\} , где {b_n} = \sqrt[n]{{{a_n}}}, будут находиться на интервале (1 - \varepsilon ;1), т.е. {b_n} >q. А это и означает, что не существует такого q , 0<q<1 , что \sqrt[n]{{{a_n}}}\leqslant q для всех натуральных n>1. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда: точно также для всех n>1 верно \sqrt[n]{{|{a_n}|}} < 1, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{{{a_n}}} = 1. Но при этом второй ряд сходится.

Примеры[править | править вики-текст]

1. Ряд

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}

2. Рассмотрим ряд

\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n(n-1)}
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}  =  \lim_{n \to \infty} {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n-1}  = \lim_{n \to \infty} {\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}^{n-1} =  e^{-2} < 1 \Rightarrow ряд сходится.

См. также[править | править вики-текст]