Радикальный признак Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

,

то данный ряд сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Предельная форма[править | править вики-текст]

Если существует предел

,

то рассматриваемый ряд сходится если , а если  — расходится.

Замечание 1. Если , то радикальный признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если , и последовательность стремится к своему пределу сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство[править | править вики-текст]

Прежде всего нужно отметить, что если признак Коши выполняется для последовательности , начиная с некоторого номера , то можно рассмотреть подпоследовательность последовательности , как раз начиная с этого номера. Ряд, составленный из такой подпоследовательности, будет сходиться. Но тогда будет сходиться и исходный ряд, поскольку конечное число начальных членов последовательности не влияет на сходимость ряда. В таком случае для упрощения доказательства имеет смысл принять , т.е. принять, что признак Коши выполняется для всех натуральных .

  1. Пусть для всех натуральных верно неравенство , где . Тогда можно записать , , ..., , и так далее. Поскольку и , и все члены последовательности неотрицательны, систему неравенств можно переписать так: , , ..., , и так далее. Складывая первые неравенств, получим . Это означает, что -я частичная сумма ряда меньше -й частичной суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом . Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии сходится, поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов исходный ряд тоже сходится.
  2. Пусть (для всех натуральных ): тогда можно записать . Это означает, что модуль членов последовательности не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется. Поэтому ряд расходится.
  3. Пусть для всех натуральных . При этом не существует такого , , что для всех натуральных . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда верно для любого натурального , кроме . В то же время, поскольку , это означает, что для любого , можно подобрать такое число , что , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности , где , будут находиться на интервале , т.е. . А это и означает, что не существует такого , , что для всех натуральных . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда: точно также для всех верно , . Но при этом второй ряд сходится.

Примеры[править | править вики-текст]

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.

См. также[править | править вики-текст]