Признак Дини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле -нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки , то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак Дини[править | править вики-текст]

Положим для

.

(модуль непрерывности функции в точке ).

Если функция удовлетворяет условию

,

то её ряд Фурье в точке сходится к .


Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

где (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять нельзя.

Модифицированный признак Дини[править | править вики-текст]

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция имеет разрыв в точке , но, тем не менее, её сужения на промежутки и могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть  — некоторые числа. Положим для

,

.

Если числа , и функция таковы, что

,

,

то ряд Фурье функции в точке сходится к .

Признак Дини — Липшица[править | править вики-текст]

Если модуль непрерывности функции в точке удовлетворяет условию

,

то ряд Фурье функции в точке сходится к

Точность признаков Дини и Дини — Липшица[править | править вики-текст]

Если возрастающая неотрицательная функция такова, что

,

то существует функция , такая, что

при всех достаточно маленьких , и ряд Фурье функции расходится в точке .

Существует функция с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

,

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов[править | править вики-текст]

Рассмотрим периодическое продолжение функции с промежутка :

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

Подставляя и , и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

и

.

См. также[править | править вики-текст]