Признак Абеля

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены на промежутке $\ [a,\infty )$. Тогда несобственный интеграл $\ \int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция $\ f(x)$ интегрируема на $\ [a,\infty )$.
2. Функция $\ g(x)$ ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены на промежутке $\ (a,b]$. Тогда несобственный интеграл $\ \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx$ сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция $\ f(x)$ интегрируема на $\ (a,b]$ т.е. сходится интеграл $\ \int \limits _{a}^{b}f(x)dx$
2. Функция $\ g(x)$ ограничена и монотонна на $\ (a,b]$.

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность $\ a_{n}$ монотонна и ограничена.
2. Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}$ сходится.

Признак Абеля сходимости функциональных рядов

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{{a_{n}}(x)}{{u_{n}}(x)}$,

где $\ {a_{n}}(x):E\mapsto \mathbb {R} ,{u_{n}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,E\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, сходится равномерно на множестве $\ E$, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_{n}}(x)$ равномерно ограничена на $\ E$ и монотонна для любых $\ x$ из $\ E$.
2. Функциональный ряд комплекснозначных функций $\sum _{n=1}^{\infty }{{u_{n}}(x)}$ равномерно сходится на $\ E$.

См. также

• Признак Д’Аламбера
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши

Ссылки

• О.В.Бесов. Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine c 253-254, c 277, c 290-291
• Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. — М.: Физматлит, 2005. — 400 с. c 316 — 318