Признак Раабе

Признак Раабе (признак Раабе — Дюамеля) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, если при достаточно больших $n$ выполняется неравенство

$R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,$

где $r>1$.

Eсли $R_{n}\leqslant 1$, начиная с некоторого $n$, то ряд $a_{n}$ расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}$

то при $R>1$ ряд сходится, а при $R<1$ — расходится.

Замечание. Если $R=1$, то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$ признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

• Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Литература

• Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4..
• И. М. Виноградов. Раабе признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Raabe's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.