Смешанное произведение: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
м откат правок 85.143.112.33 (обс) к версии MPI3
Строка 1: Строка 1:
'''Сме́шное произведе́ние''' <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — [[скалярное произведение]] [[Вектор (математика)|вектора]] <math>\mathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
'''Сме́шанное произведе́ние''' <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — [[скалярное произведение]] [[Вектор (математика)|вектора]] <math>\mathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[Вектор (математика)|векторов]] <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
: <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>.
: <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>.



Версия от 20:35, 21 декабря 2015

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Свойства

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
  • Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
  • Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:
В частности,
  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.
Три вектора, определяющие параллелепипед.

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

Примечания

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки