Векторное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на

  • векторную алгебру;
  • векторный анализ;
  • функциональный анализ.

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[2].

Разделы векторного исчисления[править | править код]

Векторная алгебра[править | править код]

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[4]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[5].

Векторный анализ[править | править код]

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре . Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[8].

Функциональный анализ[править | править код]

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций , где по крайней мере одна из переменных меняется по бесконечному пространству[9].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[10], в теории обработки сигналов[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[12], алгебраической геометрии[13] и т. д.

Примечания[править | править код]

  1. Иванов А. Б. Векторное исчисление. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 640
  2. Онищук А. Л. Тензорное исчисление. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 330
  3. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
  4. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
  5. Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
  6. Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
  7. движения энергии в телах (Умов)/I
  8. Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
  9. Березанский Ю. М., Левитан Б. М. Функциональный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 705—712
  10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
  11. Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
  12. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
  13. Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385