Уравнения Баргмана — Вигнера

Уравнения Баргмана — Вигнера — релятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

История

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера. Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре. Вигнер отмечает, что Этторе Майорана и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.

Формулировка уравнений

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином $j$ уравнения БВ представляют собой систему $2j$ линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид

${\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}$

и следует общему правилу;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _{\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j}}=0$

(1)

для $r=1,2,...2j$.

Волновая функция БВ $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$ имеет компоненты

$\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)$

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует $4^{2j}$ компонент всего спинорного поля $\psi$, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до $2(2j+1)$. Далее, $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$ являются матрицами Дирака, и

${\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }$

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение $(-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)$, является матрицей размерности $4\times 4$, потому что $\gamma ^{\mu }$ матрицы, и $mc''$ скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью $4\times 4$ (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:

${\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

где $\mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, $E$ является оператором энергии, $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ является оператором трёхмерного импульса, $I_{2}$ обозначает единичную матрицу размерностью $2\times 2$, нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью $2\times 2$ составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

• уравнения БВ являются Лоренц-ковариантными,
• все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона и, следовательно, удовлетворяют релятивистскому соотношению энергии и импульса,

$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$,

• уравнения БВ допускают вторичное квантование .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего минимальное электромагнитное взаимодействие, формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение $P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu }$, где $e$ - электрический заряд частицы и $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$ - это электромагнитный потенциал. Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.

Структура группы Лоренца

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:

$D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.$

где $D_{r}$ обозначает неприводимое представление.

См. также

• Уравнения Дирака для двух тел
• Обобщения матриц Паули
• D-матрица Вигнера
• Матрицы Вейля–Брауэра
• Матрицы Дирака высших размерностей
• Уравнения Йооса–Вайнберга — альтернативные уравнение, описывающие свободные частицы с любым спином.
• Теория высших спинов

Внешние ссылки

Релятивистские волновые уравнения:

• Dirac matrices in higher dimensions, Wolfram Demonstrations Project
• Learning about spin-1 fields, P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico (недоступная ссылка)
• Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• Quantum field theory I, Martin Mojzis
• The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Representations of Lorentz Group, indiana.edu
• Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra, mcgill.ca (недоступная ссылка)
• The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
• Representations of Lorentz and Poincare groups, J. Maciejko, Stanford University
• Representations of the Symmetry Group of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009