Унитарная группа

Унитарной группой (обозн. $U(n)$) называется подгруппа группы $GL(n,\mathbb {C} )$ невырожденных линейных преобразований пространства $\mathbb {C} ^{n},$ состоящая из так называемых унитарных линейных преобразований, то есть преобразований, сохраняющих эрмитово скалярное произведение в пространстве $\mathbb {C} ^{n}.$

А именно, если $\langle x,y\rangle$ — эрмитово скалярное произведение, то линейное преобразование $A:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ унитарное, если

$\forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}\quad \langle A(x),A(y)\rangle =\langle x,y\rangle .$

Свойства

• Определитель унитарного преобразования — комплексное число, по модулю равное $1$. Унитарные преобразования с определителем $1$ образуют подгруппу специальных унитарных преобразований $SU(n)$ в $U(n).$

Вариации и обобщения

• Если вместо эрмитова скалярного произведения взять произведение

  $\langle x,y\rangle =x_{1}{\bar {y}}_{1}+\dots +x_{p}{\bar {y}}_{p}-x_{p+1}{\bar {y}}_{p+1}-\dots -x_{p+q}{\bar {y}}_{p+q},$

то полученная группа обозначается $U(p,q)$

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, — Любое издание.

См. также

• U(1)