Тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом .
Доказательство
1. По условиям теоремы, последовательность членов является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма членов, начиная с , не превосходит :
Сгруппируем члены ряда и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:
То есть, если ряд сходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более сходится.
2. Аналогично:
То есть если ряд расходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более расходится.
— некоторая строго возрастающая последовательность
(а значит, )
последовательность ограничена
Тогда ряд сходится или расходится, одновременно с рядом .
Например, если рассматривать последовательность , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном , то согласно указанной теореме ряд сходится или расходится одновременно с рядом , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом при любой выбранной константе .
Данную теорему иногда называют признаком сгущения Шлёмильха (не следует путать с признаком Шлёмильха).
D. D. Bonar and M. Khoury, Jr.More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.