Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть $\Omega$ — ограниченное множество в метрическом пространстве $X$.

ε-покрытия

Пусть $\varepsilon >0$. Не более чем счётный набор $\{\omega _{i}\}_{i\in I}$ подмножеств пространства $X$ будем называть $\varepsilon$-покрытием множества $\Omega$, если выполнены следующие два свойства:

• $\Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}$
• для любого $i\in I$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ (здесь и далее $|\omega |$ означает диаметр множества $\omega$).

α-мера Хаусдорфа

Пусть $\alpha >0$. Пусть $\Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}$ — покрытие множества $\Omega$. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }$.

Обозначим через $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$ «минимальный размер» ${\varepsilon }$-покрытия множества $\Omega$: $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$, где инфимум берётся по всем $\varepsilon$-покрытиям множества $\Omega$.

Очевидно, что функция $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$ (нестрого) возрастает при уменьшении $\varepsilon$, поскольку при уменьшении $\varepsilon$ мы только сжимаем множество возможных $\varepsilon$-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при $\varepsilon \rightarrow 0+$:

$M_{\alpha }(\Omega )=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0+}M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$.

Величина $M_{\alpha }(\Omega )$ называется $\alpha$-мерой Хаусдорфа множества $\Omega$.

Свойства α-меры Хаусдорфа

• $\alpha$-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на $X$.
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; $d$-мера Хаусдорфа множеств в $\mathbb {R} ^{d}$ совпадает с их $d$-мерным объёмом.
• $M_{\alpha }(\Omega )$ убывает по $\alpha$. Более того, для любого множества $\Omega$ существует критическое значение $\alpha _{0}$, такое, что:
  • $M_{\alpha }(\Omega )=+\infty$ для всех $\alpha <\alpha _{0}$
  • $M_{\alpha }(\Omega )=0$ для всех $\alpha >\alpha _{0}$

Значение $M_{\alpha _{0}}(\Omega )$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа $\dim _{H}\Omega$ множества $\Omega$ называется число $\alpha _{0}$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на $n$ частей, подобных исходному множеству с коэффициентами $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$, то его размерность $s$ является решением уравнения $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$. Например,

• размерность множества Кантора равна $\ln 2/\ln 3$ (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — $\ln 3/\ln 2$ (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — $2$ (разбивается на 2 части, коэффициент подобия ${\sqrt {1/2}}$).

Свойства

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
• Для произвольных метрических пространств $X$ и $Y$ выполняется соотношение

  $\dim _{H}(X\times Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$

  • Для некоторых пар $X$ и $Y$ неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.

См. также

• Фрактал
• Размерность Минковского

Литература

• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.