Вписанная окружность: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 39: | Строка 39: | ||
* [[Теорема о трезубце]] или ''теорема трилистника'': Если ''D'' — точка пересечения биссектрисы угла ''A'' с описанной окружностью треугольника ''ABC'', ''I'' и ''J'' — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны ''BC'', тогда <math>|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|</math>. |
* [[Теорема о трезубце]] или ''теорема трилистника'': Если ''D'' — точка пересечения биссектрисы угла ''A'' с описанной окружностью треугольника ''ABC'', ''I'' и ''J'' — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны ''BC'', тогда <math>|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|</math>. |
||
* [[Лемма Веррьера]]<ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника |
* [[Лемма Веррьера]]<ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника |
||
| ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | место = Одесса | издательство = | год = 1902 | страницы = 130 |страниц = 334 | isbn =}}</ref><ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).| ссылка = https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934| место = Москва | издательство = Ленанд |
| ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/ngt/ngt.htm | место = Одесса | издательство = | год = 1902 | страницы = 130 |страниц = 334 | isbn =}}</ref><ref>{{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).| ссылка = https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934| место = Москва | издательство = Ленанд| год = 2015| страниц = 352 | isbn = 978-5-9710-2186-5}}</ref>: пусть окружность <math>V</math> касается сторон <math>AB</math>, <math>AC</math> и дуги <math>BC</math> описанной окружности треугольника <math>ABC</math>. Тогда точки касания окружности <math>V</math> со сторонами и [[центр вписанной окружности]] треугольника <math>ABC</math> лежат на одной прямой. |
||
* '''[[Теорема Фейербаха]]'''. [[Окружность девяти точек]] касается всех трёх ''вневписанных окружностей'', а также ''вписанной окружности''. Точка касания ''[[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]'' и ''вписанной окружности'' известна как [[Теорема Фейербаха|точка Фейербаха]]. |
* '''[[Теорема Фейербаха]]'''. [[Окружность девяти точек]] касается всех трёх ''вневписанных окружностей'', а также ''вписанной окружности''. Точка касания ''[[Окружность Эйлера|окружности Эйлера]]'' и ''вписанной окружности'' известна как [[Теорема Фейербаха|точка Фейербаха]]. |
Версия от 05:43, 25 февраля 2020
Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.
В многоугольнике
- Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.
- Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к его полупериметру
В треугольнике
Свойства вписанной окружности:
- В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
- Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
- Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
где — стороны треугольника, — высоты, проведённые к соответствующим сторонам[1];
- где — площадь треугольника, а — его полупериметр.
- , — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
- Если — основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла в точках и , проходит через центр вписанной окружности треугольника .
- Теорема Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, — центр описанной окружности, — центр вписанной окружности.
- Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне , пересекает стороны и в точках и , то .
- Если точки касания вписанной в треугольник окружности соединить отрезками, то получится треугольник со свойствами:
- Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T1
- Пусть T2 — ортотреугольник T1. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
- Пусть T3 — серединный треугольник T1. Тогда биссектрисы T являются высотами T3.
- Пусть T4 — ортотреугольник T3, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T4.
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .
- Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно .
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам и
- Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
- Лемма Веррьера[2][3]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой.
- Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.
Связь вписанной и описанной окружностей
- Формула Эйлера: Если — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны и соответственно, то .
- Формулы для отношения и произведения радиусов:
- [4]
- ,
где — полупериметр треугольника, — его площадь.
- Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[5].
- Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
- Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.
В четырёхугольнике
- Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
- Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
- Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .
- Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
- Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
В сферическом треугольнике
Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.
- Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[7]:20-21.
См. также
- Вневписанная окружность
- Внеописанный четырёхугольник
- Вписанная сфера
- Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
- Вписанные и описанные фигуры для треугольника
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Вписанное коническое сечение
- Описанная окружность
- Описанный четырёхугольник
- Ортоцентр
- Степень точки относительно окружности
- Теорема Мансиона
- Теорема о трезубце
- Теорема Тебо 2 и 3
- Теорема Фейербаха
- Теорема Харкорта
- Точки Аполлония
- Треугольник
- Центроид
- Центроид треугольника
- Эллипс Штейнера
Примечания
- ↑ Altshiller-Court, 1925, p. 79.
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд, 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
- ↑ Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
- ↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5
- ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
- ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
Литература
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0.
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504