Вписанная и вневписанные в треугольник окружности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Содержание

Некоторые сокращения[править | править код]

  • Вместо слов "вписанная (внутрь треугольника)" и "вневписанная (вне треугольника) окружности" возможно использование соответственно сокращений: "внуокружность" и "внеокружность" [2] по аналогии с английскими сокращениями соответственно вписанной и вневписанной в треугольник окружностей: Incircle и Excircle. Центры соответствующих окружностей кратко называют "внуцентр" и "внецентр" [2] по аналогии с английскими сокращениями соответственно центров вписанной и вневписанной в треугольник окружностей: Incenter и Excenter.
  • С учетом того, что вместо слова "окружность" возможно использование синонимов: обод (круга), обод круга,- "внуокружность" и "внеокружность" будут кратко называться соответственно, как "внуобод" (круга) и "внеобод" (круга) [2].

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника.[3]

Вписанная окружность[править | править код]

Вики вписанная окружность7.png

Пусть имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника . Таким образом, имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна . Подобным же образом имеет площадь и имеет площадь . Поскольку эти три треугольника разбивают , получаем, что

где  — площадь , а  — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен . То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен , а её центр — . Тогда является высотой треугольника , так что имеет площадь . По тем же причинам имеет площадь , а имеет площадь . Тогда

.

Таким образом, ввиду симметрии,

.

По теореме косинусов получаем

Комбинируя это с тождеством , получим

Но , так что

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с , получим

.

Аналогично, даёт

.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[4]

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , и равенство достигается только на правильных треугольниках.[5]

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, и т. д.. Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[en] с выколотым центром.[7]

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[8]

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты точки Жергонна

,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов:[9]

  • Вписанная окружность:
  • A-внешневписанная:
  • B-внешневписанная:
  • C-внешневписанная:

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника.[10]
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника.[11]
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[12]

и площадь треугольника равна

  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен[1]
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей:[13]
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.[14]
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [15].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:[11]

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей. [16] [17] [18]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[19]

Аналогично для второй формулы:

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны.[20] Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,


  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[21]

и[22]

  • Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то
  • Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника.[19]
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности.[11]
Теорема Харкорта
.

Другие свойства вневписанной окружности[править | править код]

  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r'a, rb, rc:[13]
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R.[13]
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей. [11]

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [15].

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок).[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.[24]

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.[25]

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника.[25]

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
  2. 1 2 3 Стариков, 2016, с. 95-97.
  3. H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
  4. Marcus Baker A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. Смотрите также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
  5. D. Minda, S. Phelps Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
  6. С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
  7. Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  8. Deko Dekov Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14..
  9. William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
  10. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
  11. 1 2 3 4 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
  12. Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
  13. 1 2 3 4 Amy Bell Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
  14. Dimitrios Kodokostas Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
  15. 1 2 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
  16. Roger Nelson Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
  17. R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  18. Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  19. 1 2 3 William N. Franzsen The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
  20. Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
  21. Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
  22. Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
  23. Darij Grinberg, Paul Yiu The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
  24. Milorad R. Stevanovi´c The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
  25. 1 2 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Стариков В.Н. По материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки». — Научный журнал Globus. — С-П., 2016.
  • Clark Kimberling Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
  • Sándor Kiss The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.

Ссылки[править | править код]

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]