Радиус-вектор

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой $r$ со стрелкой: ${\vec {r}}$ или набираемой жирным шрифтом: $\mathbf {r}$) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике (кинематике).

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

• Декартовы координаты: $\quad {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}$
• Полярные координаты: $\quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }$

Трёхмерное пространство

• Декартовы координаты: $\quad {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}$
• Цилиндрические координаты: $\quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$
• Сферические координаты: $\quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }$

n-мерное пространство

• Декартовы координаты: $\quad {\vec {r}}=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+...+x_{n}{\vec {e}}_{n}$

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике, изменение радиус-вектора со временем, то есть функция ${\vec {r}}(t)$, определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

${\vec {v}}(t)={\frac {{\mbox{d}}{\vec {r}}(t)}{{\mbox{d}}t}}={\dot {\vec {r}}}(t)$

${\vec {a}}(t)={\frac {{\mbox{d}}^{2}{\vec {r}}(t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)$

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам для декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если в наиболее известном случае декартовых координат ${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}{\vec {e}}_{y}+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$, то для цилиндрической системы имеем не ${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$, а выражение: ${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$. Ускорение в последней ситуации: ${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+\rho {\ddot {\varphi }}){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}$.