Круг

Круг, граничная окружность и радиус

Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа $R$, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.

Границей круга по определению является окружность. Открытый круг (внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра $<R$. При нестрогом ($\leqslant$) неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Связанные определения

• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с его границей.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
• Сектор круга— пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
• Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность.

Свойства

• При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
• Круг является выпуклой фигурой.
• Площадь круга радиуса $R$ вычисляется по формуле: $S=\pi R^{2}$, где $\pi$ ≈ 3.14159….
• Площадь сектора равна $S={\frac {\alpha R^{2}}{2}}$, где α — угловая величина дуги в радианах, $R$ — радиус.
• Периметр круга (длина окружности, ограничивающей круг): $L=2\pi R$.
• (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

Обобщения

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть $\rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$, то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

См. также

• Единичный круг — круг радиуса 1
• Квадратура круга
• Диск
• Шар