Схема выделения

Схема аксиом выделения является частью аксиоматики Цермело-Френкеля теории множеств. Схема аксиом не является отдельной аксиомой, а является правилом составления аксиом.

Схема аксиом выделения утверждает возможность построения (другими словами, существование) множества $Y$ по заданному произвольному множеству $X$ и произвольной формуле (одноместному предикату) $\varphi (t)$ следующим образом: элементами $y$ множества $Y$ являются в точности те элементы $a$ множества $X$, для которых истинна формула $\varphi (a)$ (при этом говорят, что $a$ обладает свойством $\varphi (a)$). Построенное множество обозначается следующим образом: {${y\in X:\varphi (y)}$}.

Значение схемы аксиом усматривается в отказе от идеи, что формула $\varphi (t)$ сама по себе определяет множество элементов $t$, удовлетворяющих формуле $\varphi$. Взамен утверждается, что формула $\varphi (t)$ определяет множество элементов $t$, удовлетворяющих формуле $\varphi$, лишь при условии, что указанные элементы $t$ уже являлись элементами некоторого ранее построенного множества.

Используя схему аксиом выделения и аксиому существования можно показать, что существует пустое множество. Для этого возьмём в качестве $\varphi (t)$ формулу $\neg (t=t)$.

Литература

• А.А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств (рус.). — Мир, 1966.
• О.В. Сипачёва. Начала общей топологии (рус.). — МЦНМО, 2024.