Мера Радона

Мера Радона --- мера на σ-алгебре Борелевских множеств из Хаусдорфова топологического пространства X, что является локально конечной и внутреннее регулярная.

Мотивация

Распространенной проблемой является найти хорошее понятие мера на топологическом пространстве , совместимый с топологией в каком-то смысле. Один способ сделать это, чтобы определить меру на Борелевских множеств в топологическом пространстве. В общем есть несколько проблем с этим: например, такая мера может не иметь строго определенную поддержку. Другой подход к теории меры, чтобы ограничить для локально компактного Хаусдорфова пространства, и рассматривать только те меры, которые соответствуют положительные линейные функционалы на пространстве непрерывных функций с компактным носителем (некоторые авторы используют это в качестве определения радона мера). Это дает хорошую теорию без патологических проблем, но не применяется для помещений, которые не являются локально компактными. Если не существует никаких ограничений для неотрицательных мер и комплекс мер животными, то Радон меры можно определить как непрерывное двойное место на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Если такая мера радона реально тогда его можно разложить на разность двух положительных мер. Кроме того, произвольное радона мера может быть разложена на четыре позитивных мер радона, где действительная и мнимая части являются функциональные различия каждого из двух положительных мер радона.

Определения

Пусть m есть мерой на σ-алгебре Борелевских множеств в Хаусдорфовом топологическом пространстве X.

Мерой m называется внутренне регулярной, если для любых Борелевских набор B, m(B) --- это супремум из m(K) для компактных подмножеств по K в B.

Мера m называется внешней регулярной , если для любого набора Борелевских B, m(B) является запись нижней грани m(B) по всем открытых множеств U и содержащий B.

Мера m называется локально конечной, если каждая точка в x имеет окрестность U  для которой m(U) конечен. (Если m локально конечна, то m конечна на компактных множествах.)

Мера м называется мера Радона, если это внутренняя регулярная и локально конечна.

(Определение можно обобщить на нехаусдорфовы пространства, заменив слова "компактный" на "замкнутый и  компактный" везде. Впрочем, это обобщение не имеет применений.)

Меры Радона на локально компактных пространствах

Мера Радона определенная на локально компактном топологическом пространстве, задаёт линейный функционал на пространстве всех непрерывных функций с компактным носителем:

Этот функционал полностью определяет саму меру.

Последнее наблюдение открывает   возможность разработать с мерами в терминах функционального анализа. Этот подход, применяли Бурбаки (2004) и ряд других авторов.

Меры

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство. В непрерывных вещественных функций с компактным носителем на Х образуют векторное пространство ${\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)$ с естественной локально выпуклой топологии. Действительно, ${\mathcal {K}}(X)$ является объединением пространств ${\mathcal {K}}(X,K)$ непрерывных функций с носителем содержащихся в компактных множеств в K. Каждое из пространств ${\mathcal {K}}(X,K)$ снабжено топологией равномерной сходимости, что делает его в Банаховом пространством. Но как объединение топологических пространств является частным случаем прямого ограничения топологических пространств, пространства ${\mathcal {K}}(X)$ могут быть оборудованы прямой предел в топологии, индуцированной пространств ${\mathcal {K}}(X,K)$.

Если m является мерой радона на $X,$ то

$I:f\mapsto \int f\,dm$

есть непрерывное положительное линейное отображение из ${\mathcal {K}}(X)$ в R. Положительность означает, что I(f) ≥ 0, когда f ≥ 0. Преемственность по отношению к прямому пределу топологии, определенные выше, эквивалентно следующему условию: для любого компактного подмножества K в X существует такая постоянная М_K, что для любой непрерывной вещественной функции f на Х с носителем в K, имеем

$|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.$

Обратное верно, по теореме Рисса–Маркова–Какутани.

Заряд Радона определяется как любая непрерывная линейная форма на ${\mathcal {K}}(X)$. Заряд моно представить как разницой двух Радоновых мер. Это дает определение вещественных мер Радона как двойственного пространства в локально выпуклом пространстве ${\mathcal {K}}(X)$.

Некоторые авторы используют предыдущий подход для определения (положительного)  мер Радона, которые должны быть положительные линейные формы на ${\mathcal {K}}(X)$; см. Бурбаки (2004), Хьюитт & Стромберг (1965) или Дьедонне (1970).

Интегрирование

Определение интеграла на более широкий класс функций (с не обязательно с компактным носителем) призводится в несколько шагов:

1. Определяется верхний интеграл μ*(g)  полунепрерывных снизу положительных (вещественная) функций g как супремум (возможно, бесконечного) положительных чисел μ(h) для финитных непрерывных функций h ≤ g
2. Определяется верхний интеграл μ*(f) для произвольного положительной вещественнозначной функция f как инфимум верхних интегралов μ*(g) для полу-непрерывных снизу функций g ≥ f
3. Определяется векторное пространства F = F(Х, μ) как пространство всех функций из f на X, для которого верхний интеграл μ*(|f|) конечен; верхний интеграл абсолютного значения определяет полу-норма на F, и F является полным пространством относительно топологии, определяемой этой полунормой
4. Определяется пространство L¹(X, μ) интегрируемых функций как замыкание в F в пространствa непрерывных финитных функций
5. Определяется интеграл для функций из L¹(X, μ) через расширение по непрерывности (после проверки того, что μ непрерывна относительно топологии L¹(X, μ))
6. Определяется мера множества кака интеграл (когда он существует) функции индикатора множества.

Можно убедиться, что эти действия дают теорию идентичную той, что начинается с мера Радона и определяется как функция, которая присваивает число каждому Борелевскому множеству из X.

Примеры

Следующие примеры мер Радона:

• мера Лебега на Евклидовом пространстве (ограниченных Борелевских подмножеств);
• мера Хаара на любой локально компактной топологической группы;
• Мера Дирака на любым топологические пространства;
• Гауссовы меры на Евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ с его Борелевская Сигма-алгебра;
• Вероятностные меры на σ-алгебре Борелевских множеств любого польского пространства. Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя многие меры на локально компактных пространствах, таких как мера Винера на пространстве вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1].

Следующие меры не являются мерами Радона:

• Считаюшая мера на Евклидовом пространстве, не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство ординалов до первого несчётного ординала с топологией порядка --- компактное топологическое пространство. Мера, которая равна 1 на любой набор, содержащий несчетное замкнутое множество, и 0 В противном случае, является Борелевской но не является мерой Радон.
• Пусть X = [0, 1) оснащ`н топологии, генерируемой полуоткрытыми интервалами $\{[a,b):0\leq a<b\leq 1\}$. (Эту топологию иногда называют прямая Зоргенфрея.) На этом топологическом пространстве, смера Лебега не является мерой Радона, так как она не внутренне регулярна, поскольку в этой топологии компактные множества не более чем счетны.
• Мера произведения стандартной меры на $(0,1)^{\kappa }$ с несчетным $\kappa$ это не мера Радона, поскольку любое компактное множество содержащится внутри произведения несчётного числа замкнутых интервалов, мера каждого из которых меньше 1.

Свойства

Двойственность

На локально компактном Хаусдорфовом пространстве,  меры Радона соответствуют положительные линейные функционалы на пространстве непрерывных функций с компактным носителем.

Это  свойство является главной причиной введения мер Радона.

Структура метрического пространства

На конусе ${\mathcal {M}}_{+}(X)$ всех (положительных) мер радона на $X$ могут быть даны структура полного метрического пространства. Расстояние между двумя мерами Радона $m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)$ , определяется следующим образом

$\rho (m_{1},m_{2}):=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)\,d(m_{1}-m_{2})(x)\ \right|\mathrm {continuous\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.$

Эта метрика имеет некоторые ограничения. Например, пространство Радоновых вероятностных мер на $X$,

${\mathcal {P}}(X):=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},$

не является секвециально компактным по отношению к этой метрике: то есть, не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, которая сходится.

С другой стороны, если $X$ является компактным метрическим пространством, тогда метрика Васерштейна превращается ${\mathcal {P}}(X)$ в компактное метрическое пространство.

Сходимость в метрике Радона влечёт слабую сходимость мер:

$\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,$

Обратное не верно в общем случае.

Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью.

Ссылки

• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1.

• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, vol. 2, Academic Press

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• König, Heinz (1997), Measure and integration: an advanced course in basic procedures and applications, New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
• Schwartz, Laurent (1974), Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0