Нормированное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Нормированное векторное пространство»)
Перейти к: навигация, поиск

Нормированным векторным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой.

Т.е. в векторном пространстве X задано отображение из X в R (X \ni x \rightarrow \parallel x \parallel \in R)
Такое что:

1.  \parallel x \parallel  \ge  0,   \parallel x \parallel  =  0  \Rightarrow  x = 0 (норма нулевого вектора равна нулю.)

2.  \parallel \lambda  x \parallel  =  \mid \lambda \mid  \cdot  \parallel x \parallel (норма произведения вектора на скаляр равна произведению модуля скаляра и нормы вектора)

3.  \parallel x + y \parallel  \le  \parallel x \parallel + \parallel y \parallel (неравенство треугольника: Норма суммы векторов не превосходит суммы их норм.)

Как можно понять из определения, норма является естественным обобщением понятия длины вектора.

Определение[править | править исходный текст]

Полунормированным векторным пространством называется пара \left(V,p\right), где Vвекторное пространство, а pполунорма в V.

Нормированным векторным пространством называется пара \left(V,\left\Vert\cdot\right\Vert\right), где V — векторное пространство, а \left\Vert\cdot\right\Vertнорма в V.

Часто обозначение p и \left\Vert\cdot\right\Vert опускают и пишут просто V, если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.

Метрика нормированного пространства и связь с нормой[править | править исходный текст]

В нормированном пространстве d(x,y) = \parallel x - y \parallel определяет метрику.
Свойства метрики и связь с нормой в нормированном пространстве:

1. если d(x,y) = 0 то есть  \parallel  x - y  \parallel  = 0 то  x = y

2. d(x,y) = \parallel  x - y  \parallel  =  \parallel  y - x  \parallel  =  d(y,x)

3. d(x,y) = \parallel  x - y  \parallel  =  \parallel  ( x - z ) + ( z - y )  \parallel  \le  \parallel  x - z  \parallel  +  \parallel  z - y  \parallel  =  d(x,z)  +  d(z,y)

(это обычные свойства нормы и метрики и их связь в нормированных пространствах.)
Метрика в нормированных пространствах обладает двумя дополнительными свойствами:

4. d(x,y)  =  d(x + z,y + z) (инвариантность относительно сдвига)

5. d(\lambda x,\lambda y)  =  \mid \lambda \mid \cdot d(x,y) (положительная однородность)

Топологическая структура[править | править исходный текст]

Для любого полунормированного векторного пространства мы можем задать расстояние между двумя векторами \mathbf{u} и \mathbf{v} как \left\Vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\right\Vert. Такое полунормированное пространство с определённым таким образом расстоянием называется полунормированным метрическим пространством, в котором мы можем определить такие понятия как непрерывность и сходимость. Более абстрактно, любое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несёт топологическую структуру, порождённую полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, называемые банаховыми пространствами. Любое нормированное векторное пространство V находится как плотное подпространство внутри банахова пространства, а это банахово пространство однозначно определяется пространством V и называется пополнением пространства V.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, так как они порождают одну и ту же топологию. А так как любое евклидово пространство полно, мы можем сделать вывод, что все конечномерные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство V конечномерно тогда и только тогда, когда единичный шар B =\{x\colon\left\Vert x \right\Vert \leqslant 1\} компактен, что может быть тогда и только тогда, когда V локально-компактно.

Топология полунормированного вектора обладает несколькими интересными свойствами. Взяв окрестностную систему \mathcal{N}\left(0\right) около 0, мы можем построить все остальные окрестностные системы как

\mathcal{N}\left(x\right)=x+\mathcal{N}\left(0\right) := \left\{x+N\mid N \in \mathcal{N}\left(0\right)\right\}

с помощью

x+N:=\left\{ x + n \bar n \in N\right\}.

Более того, существует базис окрестностей для 0, состоящий из поглощающих и выпуклых множеств. Так как это свойство очень полезно в функциональном анализе, обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются как локально-выпуклые пространства.

Линейные отображения и двойственные пространства[править | править исходный текст]

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения. Нормированные векторные пространства с такими отображениями образуют категорию.

Норма — это непрерывная функция в своём векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрией между двумя нормированными векторными пространствами называется линейное отображение f, сохраняющее норму (то есть \left\Vert f\left(\mathbf{v}\right) \right\Vert = \left\Vert\mathbf{v}\right\Vert для всех векторов \mathbf{v}). Изометрии всегда непрерывны и инъективны. Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами V и W называется изометрическим изоморфизмом. Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства можно считать равноправными для практически любых целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах мы должны упомянуть двойственные пространства. Двойственное пространство V' нормированного векторного пространства V — это пространство всех непрерывных линейных отображений из V на основное поле (поле комплексных или действительных чисел), а такие линейные отображения называются функционалами. Норма функционала \varphi определяется как

\left\Vert\varphi\right\Vert = \sup \left\vert\varphi\left(\mathbf{v}\right)\right\vert \qquad \forall \mathbf{v} : \left\Vert\mathbf{v}\right\Vert = 1.

Введение такой нормы превращает V' в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах в нормированных векторных пространствах является теорема Хана — Банаха.

Нормированные пространства как фактор-пространства полунормированных пространств[править | править исходный текст]

Определения многих нормированных пространств (например, банахова пространства) включают в себя полунорму, определённую в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство с помощью подпространства элементов, чья полунорма равна нулю. Например, в случае пространств Lp, функция, определяемая как

\left\Vert f \right\Vert_p = \left(\int\left\vert f\left(x\right)\right\vert^p\; dx\right)^{\frac{1}{p}},

является полунормой в векторном пространстве всех функций, интеграл Лебега от которых (справа) определён и конечен. Однако полунорма равна нулю для всех функций, носитель которых имеет нулевую меру Лебега. Эти функции образуют подпространство, которое мы «вычёркиваем», делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечные произведения пространств[править | править исходный текст]

Для данных n полунормированных пространств X_i с полунормами p_i мы можем определить произведение пространств как

x \stackrel{\mathrm{def}}{=}\prod_{i=1}^n x_i

с векторным сложением, определённым как

\left(x_1, \ldots, x_n\right) + \left(y_1, \ldots, y_n\right) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n\right),

и скалярным умножением, определённым как

\alpha\left(x_1,\ldots,x_n\right) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n\right).

Определим новую функцию p

p : X \mapsto \mathbb{R}

как

p : \left(x_1, \ldots, x_n\right) \to \sum^{n}_{i=1} p_i\left(x_i\right),

которая будет полунормой в X. Функция p будет нормой тогда и только тогда, когда все p_i являются нормами.

См. также[править | править исходный текст]