Теорема о сумме углов многоугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свойство многоугольников в евклидовой геометрии:

Сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2).


Доказательство[править | править исходный текст]

Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника

В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.

Пусть A_1A_2...A_n — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n − 3 диагонали: A_1A_3, A_1A_4, A_1A_5...A_1A_{n-1}. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n − 2 треугольника: \Delta A_1A_2A_3, \Delta A_1A_3A_4, ..., \Delta A_1A_{n-1}A_n. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n − 2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Теорема доказана.

Замечание[править | править исходный текст]

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n − 2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Примечания[править | править исходный текст]

Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии.

См. также[править | править исходный текст]