Правильный семиугольник

Правильный семиугольник

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Свойства

Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть $t$ — сторона семиугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.

$t = 2R \sin \frac{\pi}{7} = 2r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} ~;~ r = R \cos \frac{\pi}{7}$,

Периметр правильного семиугольника равен

$P = 7 t = 14 R \sin \frac{\pi}{7} = 14 r \operatorname{tg} \frac{\pi}{7}$.

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

$S = \frac{7}{4} t^2 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7}$,

$S = \frac{7}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{7}$,

$S = 7 r^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$.

Построение

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки $A$ на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу $BOC$. Отрезок $BD = {1 \over 2}BC$ и даст искомое приближение.

Семиугольные звёзды

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

• 

  Семиугольная звезда 7/2

• 

  Семиугольная звезда 7/3

Применение

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.