Пятиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Площадь пятиугольника без самопересечений[править | править вики-текст]

Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Выпуклый пятиугольник[править | править вики-текст]

Выпуклым пятиугольником называется пятиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.

 \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

Любые 9 точек в общем положении содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника[1]. Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника[2].

Правильный пятиугольник[править | править вики-текст]

Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на[3]:

  • меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре
  • Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию равным золотой пропорции):
    • 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании
    • 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании

При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями, то получится два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета (мозаики Пенроуза).

Звездчатые пятиугольники[править | править вики-текст]

Золотые сечения пентаграммы

Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется звёздчатым. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник - пентаграмма.

Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ.

\varphi = \frac{\mathrm{\color{red}red}}{\mathrm{\color{Blue}blue}} = \frac{\mathrm{\color{Blue}blue}}{\mathrm{\color{Green}green}} = \frac{\mathrm{\color{Green}green}}{\mathrm{\color{Magenta}magenta}}

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «пятиугольник»

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G. & Stanton, R.G. (1970), "A combinatorial problem on convex regions", «Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing», vol. 1, Congressus Numerantium, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., сс. 180–188 
  2. Harborth, Heiko (1978), "«Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen»", Elem. Math. Т. 33 (5): 116–118 
  3. Плитки Пенроуза