Кватернионный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера[1].

Определение регулярной функции[править | править код]

Рассмотрим оператор

Функция кватернионного переменного называется регулярной, если


Гармонические функции[править | править код]

Пусть , тогда и . Несложно проверить, что оператор имеет вид

и совпадает с оператором Лапласа в . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции существует регулярная кватернионная функция такая, что . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения[править | править код]

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений[править | править код]

Пусть  — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной в точке как такое число, что

где  — бесконечно малая от , то есть

.

Множество функций, которые имеют левую производную ограничено. Например, такие функции, как

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

Нетрудно убедиться, что выражения

и

являются линейными функциями кватерниона . Это наблюдение является основанием для следующего определения[2].

Непрерывное отображение

называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде

где

линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что

Линейное отображение

называется производной отображения .

Производная может быть представлена в виде[3]

Соответственно дифференциал отображения имеет вид

Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения

называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

Если , то производная имеет вид

Если , то производная имеет вид

и компоненты производной имеют вид

Если , то производная имеет вид

и компоненты производной имеют вид

Примечания[править | править код]

  1. Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — Т. 8. — P. 371—378.
  2. Aleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
  3. Выражение не является дробью и должно восприниматься как единный символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения при заданном является кватернионом.

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]