Цепь Маркова

Пример цепи с двумя состояниями

Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии. Характеризуется тем свойством, что, говоря нестрого, при текущем настоящем состоянии системы, её будущее состояние не зависит от прошлого. Названа в честь А. А. Маркова (старшего), который впервые ввёл это понятие в работе 1906 года.

Цепь Маркова с дискретным временем

Определение

Последовательность дискретных случайных величин $\{X_{n}\}_{n\geqslant 0}$ называется простой цепью Маркова (с дискретным временем), если

$\mathbb {P} (X_{n+1}=i_{n+1}\mid X_{n}=i_{n},X_{n-1}=i_{n-1},\ldots ,X_{0}=i_{0})=\mathbb {P} (X_{n+1}=i_{n+1}\mid X_{n}=i_{n})$.

Таким образом, в простейшем случае условное распределение последующего состояния цепи Маркова зависит только от текущего состояния и не зависит от всех предыдущих состояний (в отличие от цепей Маркова высших порядков).

Область значений случайных величин $\{X_{n}\}$ называется простра́нством состоя́ний цепи, а номер $n$ — номером шага.

Переходная матрица и однородные цепи

Матрица $P{(n)}$, где

$P_{ij}{(n)}\equiv \mathbb {P} (X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)$

называется ма́трицей перехо́дных вероя́тностей на $n$-м шаге, а вектор $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots )^{\top }$, где

$p_{i}\equiv \mathbb {P} (X_{0}=i)$

— нача́льным распределе́нием цепи Маркова.

Очевидно, матрица переходных вероятностей является стохастической справа, то есть

$\sum \limits _{j}P_{ij}(n)=1,\quad \forall n\in \mathbb {N}$.

Цепь Маркова называется одноро́дной, если матрица переходных вероятностей не зависит от номера шага, то есть

$P_{ij}{(n)}=P_{ij},\quad \forall n\in \mathbb {N}$.

В противном случае цепь Маркова называется неоднородной. В дальнейшем будем предполагать, что имеем дело с однородными цепями Маркова.

Конечномерные распределения и матрица перехода за n шагов

Из свойств условной вероятности и определения однородной цепи Маркова получаем:

$\mathbb {P} (X_{n}=i_{n},\ldots ,X_{0}=i_{0})=P_{i_{n-1},i_{n}}\cdots P_{i_{0},i_{1}}P_{i_{0}}$,

откуда вытекает специальный случай уравнения Колмогорова — Чепмена:

$\mathbb {P} (X_{n}=i_{n}\mid X_{0}=i_{0})=(P^{n})_{i_{0},i_{n}}$,

то есть матрица переходных вероятностей за $n$ шагов однородной цепи Маркова есть $n$-я степень матрицы переходных вероятностей за 1 шаг. Наконец,

$\mathbb {P} (X_{n}=i_{n})=\left((P^{T})^{n}\mathbf {p} \right)_{i_{n}}$.

Типы состояний

• Возвратное состояние.
• Возвратная цепь Маркова.
• Достижимое состояние.
• Неразложимая цепь Маркова.
• Периодическое состояние.
• Периодическая цепь Маркова.
• Поглощающее состояние. Состояние $i$ называется поглощающим, если $P_{i,i}=1$.
• Эргодическое состояние.

Примеры

• Ветвящийся процесс;
• Случайное блуждание;

Цепь Маркова с непрерывным временем

Определение

Семейство дискретных случайных величин $\{X_{t}\}_{t\geqslant 0}$ называется цепью Маркова (с непрерывным временем), если

$\mathbb {P} (X_{t+h}=x_{t+h}\mid X_{s}=x_{s},\;0<s\leqslant t)=\mathbb {P} (X_{t+h}=x_{t+h}\mid X_{t}=x_{t})$.

Цепь Маркова с непрерывным временем называется однородной, если

$\mathbb {P} (X_{t+h}=x_{t+h}\mid X_{t}=x_{t})=\mathbb {P} (X_{h}=x_{h}\mid X_{0}=x_{0})$.

Матрица переходных функций и уравнение Колмогорова — Чепмена

Аналогично случаю дискретного времени, конечномерные распределения однородной цепи Маркова с непрерывным временем полностью определены начальным распределением

$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots )^{\top },\;p_{i}=\mathbb {P} (X_{0}=i),\quad i=1,2,\ldots$

и ма́трицей перехо́дных фу́нкций (переходных вероятностей)

$\mathbf {P} (h)=(P_{ij}(h))=\mathbb {P} (X_{h}=j\mid X_{0}=i)$.

Матрица переходных вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена: $\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s)$ или

$P_{ij}(t+s)=\sum _{k}P_{ik}(t)P_{kj}(s).$

Матрица интенсивностей и дифференциальные уравнения Колмогорова

По определению матрица интенсивностей $\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {I} }{h}}$, или, что эквивалентно,

$\mathbf {Q} =(q_{ij})=\left({\frac {dP_{ij}(h)}{dh}}\right)_{h=0}$.

Из уравнения Колмогорова — Чепмена следуют два уравнения:

• Прямое уравнение Колмогорова

  ${\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {P} (t)\mathbf {Q} ,$

• Обратное уравнение Колмогорова

  ${\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {Q} \mathbf {P} (t).$

Для обоих уравнений начальным условием выбирается $\mathbf {P} (0)=\mathbf {I}$. Соответствующее решение $\mathbf {P} (t)=\exp(\mathbf {Q} t).$

Свойства матриц P и Q

Для любого $t>0$ матрица $\mathbf {P} (t)$ обладает следующими свойствами:

1. Матричные элементы $\mathbf {P} (t)$ неотрицательны: $P_{ij}(t)\geqslant 0$ (неотрицательность вероятностей).
2. Сумма элементов в каждой строке $\mathbf {P} (t)$ равна 1: $\sum _{j}P_{ij}(t)=1$ (полная вероятность), то есть матрица $\mathbf {P} (t)$ является стохастической справа (или по строкам).
3. Все собственные числа $\lambda$ матрицы $\mathbf {P} (t)$ не превосходят 1 по абсолютной величине: $|\lambda |\leqslant 1$. Если $|\lambda |=1$, то $\lambda =1$.
4. Собственному числу $\lambda =1$ матрицы $\mathbf {P} (t)$ соответствует как минимум один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): $(p_{1}^{*},\,p_{2}^{*},...);$ $p_{i}^{*}\geqslant 0;$ $\sum _{i}p_{i}^{*}=1;$ $\sum _{i}p_{i}^{*}P_{ij}(t)=p_{j}^{*}$.
5. Для собственного числа $\lambda =1$ матрицы $\mathbf {P} (t)$ все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Матрица $\mathbf {Q}$ обладает следующими свойствами:

1. Внедиагональные матричные элементы $\mathbf {Q}$ неотрицательны: $q_{ij}\geqslant 0\;i\neq j$.
2. Диагональные матричные элементы $\mathbf {Q}$ неположительны: $q_{ii}\leqslant 0$.
3. Сумма элементов в каждой строке $\mathbf {Q}$ равна 0: $\sum _{j}q_{ij}=0.$
4. Действительная часть всех собственных чисел $\mu$ матрицы $\mathbf {Q}$ неположительна: $Re(\mu )\leqslant 0$. Если $Re(\mu )=0$, то $\mu =0.$
5. Собственному числу $\mu =0$ матрицы $\mathbf {Q}$ соответствует как минимум один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): $(p_{1}^{*},\,p_{2}^{*},...);$ $p_{i}^{*}\geqslant 0;$ $\sum _{i}p_{i}^{*}=1;$ $\sum _{i}p_{i}^{*}q_{ij}=0.$
6. Для собственного числа $\mu =0$ матрицы $\mathbf {Q}$ все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Граф переходов, связность и эргодические цепи Маркова

Для цепи Маркова с непрерывным временем строится ориентированный граф переходов (кратко — граф переходов) по следующим правилам:

• Множество вершин графа совпадает со множеством состояний цепи.
• Вершины $i,j\,(i\neq j)$ соединяются ориентированным ребром $i\to j$, если $q_{ij}>0$ (то есть интенсивность потока из $i$-го состояния в $j$-е положительна).

Топологические свойства графа переходов связаны со спектральными свойствами матрицы $\mathbf {Q}$. В частности, для конечных цепей Маркова верны следующие теоремы:

• Следующие три свойства А, Б, В конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи иногда называют слабо эргодическими):

А. Для любых двух различных вершин графа переходов $i,j\,(i\neq j)$ найдется такая вершина $k$ графа («общий сток»), что существуют ориентированные пути от вершины $i$ к вершине $k$ и от вершины $j$ к вершине $k$. Замечание: возможен случай $k=i$ или $k=j$; в этом случае тривиальный (пустой) путь от $i$ к $i$ или от $j$ к $j$ также считается ориентированным путём.

Б. Нулевое собственное число матрицы $\mathbf {Q}$ невырождено.

В. При $t\to \infty$ матрица $\mathbf {P} (t)$ стремится к матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

• Следующие пять свойств А, Б, В, Г, Д конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи называют эргодическими):

А. Граф переходов цепи ориентированно связен.

Б. Нулевое собственное число матрицы $\mathbf {Q}$ невырождено и ему соответствует строго положительный левый собственный вектор (равновесное распределение).

В. Для некоторого $t>0$ матрица $\mathbf {P} (t)$ строго положительна (то есть $P_{ij}(t)>0$ для всех $i,j$).

Г. Для всех $t>0$ матрица $\mathbf {P} (t)$ строго положительна.

Д. При $t\to \infty$ матрица $\mathbf {P} (t)$ стремится к строго положительной матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

Примеры

Рис. Примеры графов переходов для цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока для состояний $A_{2},\,A_{3}$); b) слабо эргодическая цепь (граф переходов не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связан).

Рассмотрим цепи Маркова с тремя состояниями и с непрерывным временем, соответствующие графам переходов, представленным на рис. В случае (a) отличны от нуля только следующие недиагональные элементы матрицы интенсивностей — $q_{12},\,q_{13}$, в случае (b) отличны от нуля только $q_{12},\,q_{31}\,q_{32}$, а в случае (c) — $q_{12},\,q_{31}\,q_{23}$. Остальные элементы определяются свойствами матрицы $\mathbf {Q}$ (сумма элементов в каждой строке равна 0). В результате для графов (a), (b), (c) матрицы интенсивностей имеют вид: $\mathbf {Q} _{a}={\begin{pmatrix}-(q_{12}+q_{13})&q_{12}&q_{13}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {Q} _{b}={\begin{pmatrix}-q_{12}&q_{12}&0\\0&0&0\\q_{31}&q_{32}&-(q_{31}+q_{32})\end{pmatrix}},$ $\mathbf {Q} _{c}={\begin{pmatrix}-q_{12}&q_{12}&0\\0&-q_{23}&q_{23}\\q_{31}&0&-q_{31}\end{pmatrix}},$

Основное кинетическое уравнение

Основная статья: Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи Маркова с непрерывным временем. «Основное уравнение» здесь — не эпитет, а перевод термина англ. Master equation. Для вектора-строки распределения вероятностей $\pi$ основное кинетическое уравнение имеет вид:

${\frac {d\pi }{dt}}=\pi \mathbf {Q}$

и совпадает, по существу, с прямым уравнением Колмогорова. В физической литературе чаще используют векторы-столбцы вероятностей и записывают основное кинетическое уравнение в виде, который явно использует закон сохранения полной вероятности:

${\frac {dp_{i}}{dt}}=\sum _{j,\,j\neq i}(T_{ij}p_{j}-T_{ji}p_{i}),$

где $T_{ij}=q_{ji}.$

Если для основного кинетического уравнения существует положительное равновесие $p_{i}^{*}>0$, то его можно записать в форме

${\frac {dp_{i}}{dt}}=\sum _{j,\,j\neq i}T_{ij}p_{j}^{*}\left({\frac {p_{j}}{p_{j}^{*}}}-{\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right).$

Функции Ляпунова для основного кинетического уравнения

Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть $h(x)\,(x>0)$ — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей ($p_{i}>0$) определим функцию Моримото $H_{h}(p)$:

$H_{h}(p)=\sum _{i}p_{i}^{*}h\left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)$.

Производная $H_{h}(p)$ по времени, если $p(t)$ удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть

${\frac {dH_{h}(p(t))}{dt}}=\sum _{i,j\,i\neq j}T_{ij}p_{j}^{*}\left[h\left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)-h\left({\frac {p_{j}}{p_{j}^{*}}}\right)+h'\left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)\left({\frac {p_{j}}{p_{j}^{*}}}-{\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)\right]\leqslant 0$.

Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости $h(x)$.

Примеры функций Моримото $H_{h}(p)$

• $h(x)=|x-1|$, $H_{h}(p)=\sum _{i}|p_{i}-p_{i}^{*}|$;

эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в $l_{1}$-норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)

• $h(x)=x\ln x$, $H_{h}(p)=\sum _{i}p_{i}\ln \left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)$;

эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на $kT$ (где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура):

если $p_{i}^{*}=\exp(\mu _{0}-U_{i}/kT)$ (распределение Больцмана), то

$H_{h}(p)=\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}+\sum _{i}p_{i}U_{i}/kT-\mu _{0}=(\langle U\rangle -TS)/kT$.

• $h(x)=-\ln x$, $H_{h}(p)=-\sum _{i}p_{i}^{*}\ln \left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)$;

эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов:

$S_{\rm {Burg}}=\sum _{i}\ln p_{i}$

• $h(x)={\frac {(x-1)^{2}}{2}}$, $H_{h}(p)=\sum _{i}{\frac {(p_{i}-p_{i}^{*})^{2}}{2p_{i}^{*}}}$;

это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,

• $h(x)={\frac {x^{2}}{2}}$, $H_{h}(p)=\sum _{i}{\frac {p_{i}^{2}}{2p_{i}^{*}}}$;

это (минус) энтропия Фишера.

• $h(x)={\frac {x^{q}-1}{q-1}},\,q>0,\,q\neq 1$, $H_{h}(p)={\frac {1}{q-1}}\left[\sum _{i}p_{i}^{*}\left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{*}}}\right)^{q}-1\right]$;

это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса.

$S_{q{\rm {Tsallis}}}(p)={1 \over q-1}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right).$

служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При $q\to 1$ она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.

Практическое применение

Основная статья: Скрытая марковская модель

Одной из первых научных дисциплин, в которой цепи Маркова нашли практическое применение, стала лингвистика (в частности текстология). Сам Марков для иллюстрации своих результатов исследовал зависимость в чередовании гласных и согласных в первых главах «Евгения Онегина» и «Детских годов Багрова-внука».

Литература

• Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. — М.: МЦНМО, 2010. — 295 с. — ISBN 978-5-94057-252-7.
• Марков А. А., Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
• Маркова цепь / А. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960
  • Перевод: Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.
• Чжун Кай-лай Однородные цепи Маркова. Перев. с англ. — М.: Мир, 1964. — 425 с.
• Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. — М.: Мир, 1989. — 207 с.
• Morimoto T., Markov processes and the H-theorem. — J. Phys. Soc. Jap. 12 (1963), 328—331.
• Яглом А. М., Яглом И. М., Вероятность и информация. — М., Наука, 1973. — 512 с.
• Kullback S., Information theory and statistics. — Wiley, New York, 1959.
• Burg J.P., The Relationship Between Maximum Entropy Spectra and Maximum Likelihood Spectra, Geophysics 37(2) (1972), 375—376.
• Tsallis C., Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. J. Stat. Phys. 52 (1988), 479—487.
• Рудой Ю. Г., Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике, ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.
• Gorban, Alexander N.; Gorban, Pavel A.; Judge, George. Entropy: The Markov Ordering Approach. Entropy 12, no. 5 (2010), 1145—1193.

Ссылки

• SolidMinus. Разработка класса для работы с цепями Маркова  (рус.). Хабрахабр (1 июня 2016). Дата обращения: 18 августа 2016.