Постоянная Эйлера — Маскерони

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)$

Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы. Карл Антон Бретшнайдер предложил современное обозначение $\gamma$ (греческая буква «гамма»).

Значение константы:

$\gamma$ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805 767 234 884 867 726 777 664 670 936 947 063 291 746 749 515…

В теории чисел нередко используется константа

$e^{\gamma }$ ≈ 1,781 072 417 990 197 985 236 504 103 107 179 549 169 645 214 303 430 205 357 665 876 512 841 076 813 588 293 707 574 216 488 418 280…

$e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots$

Свойства

• Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

  $\gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx$

  $\gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

  $\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.$

  $-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx$

• Также она выражается через производную гамма-функции:

  $\gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)$.

• До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — Маскерони — рациональная дробь, то её знаменатель должен быть больше $10^{242080}$ 
• ${\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&={\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right).\end{aligned}}$

• $\gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)$.
• $\gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}$
• ${\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}$
• $2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}$
• ${\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.$
• $\gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.$
• $e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).$
• $\sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера