Постоянная Каталана

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

$G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\dots$

Её численное значение приблизительно равно:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

$G=\beta (2).$

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

$G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\right)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

$\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,$

$\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,$

так что

$G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right].$

Симон Плуфф нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией $\psi _{1}$, $\pi ^{2}$ и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

$G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2(2-{\sqrt {2}})}}\right).$

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,$

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy,$

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,$

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,$

$G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.$

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

$G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.$

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

$G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}$

и

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой.

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (последовательность A014538 в OEIS) выглядит следующим образом:

$G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=$

$=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;$

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

$2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	20 000	Greg J. Fee
1996	50 000	Greg J. Fee
1996, 14 августа	100 000	Greg J. Fee и Симон Плуфф
1996, 29 сентября	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 января	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	5 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2008, август	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, 31 января	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, 16 апреля	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant (англ.) // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — P. 1—10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Архивная копия от 20 апреля 2009 на Wayback Machine, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Архивная копия от 21 апреля 2009 на Wayback Machine, (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant (англ.) // The Ramanujan Journal : journal. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 159—173. — doi:10.1023/A:1006945407723.
• David M. Bradley (2007). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". arXiv:0706.0356.