Постоянная Каталана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Постоя́нная Катала́на G (англ. Catalan's constant) встречается в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Её также обозначают буквами K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакопеременного ряда

G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!

Её численное значение приблизительно равно[1]:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (последовательность A006752 в OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (фр. Eugène Charles Catalan).

Связь с другими функциями[править | править вики-текст]

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

 G = \beta(2) \; .

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

 G = \mathrm{Cl}_2(\pi/2) \; = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2(e^{\mathrm{i}\pi/2}) \right) = \mathrm{Im} \left( \mathrm{Li}_2({\mathrm{i}}) \right)\; .

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

 \psi_{1}\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G \; ,
 \psi_{1}\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G \; ,

так что

 G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_{1}\left(\tfrac14\right) - \psi_{1}\left(\tfrac34\right)\right] \; .

Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией \psi_1, \pi^2 и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

G=4\pi \ln\left( \frac{ G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8}) }{ G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8}) } \right) +4 \pi \ln \left( \frac{ \Gamma(\tfrac{3}{8}) }{ \Gamma(\tfrac{1}{8}) } \right) +\frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \, (2-\sqrt{2})} \right) .

Интегральные представления[править | править вики-текст]

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \; ,
G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \; ,
G = \tfrac12 \int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt \; ,
 G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\,dx \; ,
 G = \tfrac12 \int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}\,dx \; .

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),

 G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx \; .

Быстро сходящиеся ряды[править | править вики-текст]

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

G = \frac{\pi}{8} \ln(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

и

G = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right)

- 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5].

Вычисление десятичных цифр[править | править вики-текст]

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[6].

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1865 14 Эжен Шарль Каталан
1877 20 Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913 32 Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»20 000 Greg J. Fee
1996 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»50 000 Greg J. Fee
1996, 14 августа 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996, 29 сентября 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»300 000 Thomas Papanikolaou
1996 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»1 500 000 Thomas Papanikolaou
1997 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»3 379 957 Patrick Demichel
1998, 4 января 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»12 500 000 Xavier Gourdon
2001 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»100 000 500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»201 000 000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»5 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[7]
2008, август 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2009, 31 января 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[9]
2009, 16 апреля 0Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,».Ошибка выражения: неопознанный символ пунктуации «,»31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[9]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Catalan's Constant to 1,500,000 Places (HTML). gutenberg.org. Проверено 5 февраля 2011.
  2. B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985)
  3. D. J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
  4. E. A. Карацуба Быстрое вычисление трансцендентных функций // Проблемы передачи информации. — 1991. — Т. 27. — № 4. — С. 87-110.
  5. E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001)
  6. X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation
  7. Shigeru Kondo's website
  8. Constants and Records of Computation
  9. 1 2 Large Computations

Ссылки[править | править вики-текст]