Постоянная Эйлера — Маскерони

Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)$

Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы. Карл Антон Бретшнайдер предложил современное обозначение $\gamma$ (греческая буква «гамма»).

0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421 5933593992 3598805767 2348848677 2677766467 0936947063 2917467495 1463144724 9807082480 9605040144 8654283622 4173997644 9235362535 0033374293 7337737673 9427925952 5824709491 6008735203 9481656708 5323315177 6611528621 1995015079 8479374508 5705740029 9213547861 4669402960 4325421519 0587755352 6733139925 4012967420 5137541395 4911168510 2807984234 8775872050 3843109399 7361372553 0608893312 6760017247 9537836759 2713515772 2610273492 9139407984 3010341777 1778088154 9570661075 0101619166 3340152278 9358679654 9725203621 2879226555 9536696281 7638879272 6801324310 1047650596 3703947394 9576389065 7296792960 1009015125 1959509222 4350140934 9871228247 9497471956 4697631850 6676129063 8110518241 9744486783 6380861749 4551698927 9230187739 1072945781 5543160050 0218284409 6053772434 2032854783 6701517739 4398700302 3703395183 2869000155 8193988042 7074115422 2781971652 3011073565 8339673487 1765049194 1812300040 6546931429 9929777956 9303100503 0863034185 6980323108 3691640025 8929708909 8548682577 7364288253 9549258736 2959613329 8574739302

---

Первая тысяча знаков после запятой числа $\gamma$

В теории чисел нередко используется константа

$e^{\gamma }$ ≈ 1,781 072 417 990 197 985 236 504 103 107 179 549 169 645 214 303 430 205 357 665 876 512 841 076 813 588 293 707 574 216 488 418 280…

$e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots$

Свойства

• Постоянная Эйлера может быть выражена как интеграл:

  $\gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx$

  $\gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

  $\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.$

  $-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx$

• Также она выражается через производную гамма-функции:

  $\gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)$.

• До сих пор не выявлено, является ли это число рациональным. Однако теория цепных дробей показывает, что если постоянная Эйлера — Маскерони — рациональная дробь, то её знаменатель должен быть больше $10^{242080}$  При этом известно уже около 5 миллиардов членов разложения в цепную дробь, но рано или поздно она остановится, если число рационально.
• ${\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&={\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right).\end{aligned}}$

• $\gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)$.
• $\gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}$
• ${\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}$
• $2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}$
• ${\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.$
• $\gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.$
• $e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).$
• $\sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера