Транспозиционная матрица

Транспозиционная матрица ($Tr$-матрица) — квадратная матрица размера $n\times n$ ($n=2^{m}$, $m\in N$), элементы которой получаются из элементов заданного $n$-мерного вектора $X=(x_{i})$ по формуле:

$Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}$,

где символом $\oplus$ обозначена битовая операция «сложение по модулю 2». Строки и столбцы транспозиционной матрицей являются перестановками вектора $X$; каждая строка и столбец $Tr(X)$ содержит все элементы вектора $X$ без повторений. $Tr$-матрица бисимметрична: $Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ и $Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1}$ для любых $i$ и $j$.

Например, транспозиционная матрица $Tr(X)$, полученная из вектора:

$X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}$

имеет вид:

$Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}$.

Свойство четвёрок

Четвёрки из элементов в $Tr$-матрице — диагональные элементы в них равны

Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит $n/2$ четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если $Tr_{p,q}$ и $Tr_{u,q}$ — два случайно выбранных элемента из одного столбца $q$ матрицы $Tr$, то из этого свойства следует, что $Tr$-матрица содержит четвёрку из элементов $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, для которой выполняются уравнения $Tr_{p,q}=Tr_{u,v}$ и $Tr_{u,q}=Tr_{p,v}$. Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для $Tr$-матриц.

Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками

Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы $Tr$ матрицу со взаимно ортогональными строками $Trs$ путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$, $p,q,u,v\in [1,n]$. Существует алгоритм построения $Trs$-матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы $Tr$ и $n$-мерной матрицы Адамара $H=(h_{ij})$, строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы $Trs$ взаимно ортогональны:

$Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)$

$Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}$

где:

«$\circ$» — произведение Адамара,

$I_{n}$ — единичная матрица,

$H(R)$ — $n$-мерная матрица Адамара с перестановкой строк $R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]$, которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;

$X$ — вектор, из которого выводятся элементы $Tr$-матрицы.

Порядок $R$ строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц $Trs$ размеров 2, 4 и 8. Порядок $R$ строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора $X$. Было доказано, что если $X$ — единичный вектор ($\parallel X\parallel =1$), то $det(Trs)=-1$.

Пример получения матрицы Trs

Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками $Trs(X)$ при $n=4$, получается из вектора $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}$ по формуле:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}$,

где $Tr(X)$ — $Tr$ матрица, полученная из вектора $X$, H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы $Trs(X)$ содержит элементы вектора $X$ без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы $Trs$ взаимно ортогональны:

$Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}$,

следовательно, матрица $Trs$ вращает вектор $X$, из которого она получена, в направлении оси $x_{1}$. Порядок $R$ строк матрицы Адамара не зависит от вектора $X$. Опубликованы примеры генерации матриц $Tr$ и $Trs$ для $n=2,4,8$. Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.

Литература

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
• Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.

Ссылки

• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html