Модель распространения технологий

Хавьер Сала-и-Мартин

Модель распространения технологий (модель заимствования технологий, модель Барро — Сала-и-Мартина, англ. technology diffusion model) — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного поведенческими факторами, а также возможность конвергенции, обусловленной распространением (заимствованием) технологий. В модели обосновано устойчивое различие в процентных ставках между развитыми и развивающимися странами. Разработана в 1995 году Робертом Барро и Хавьером Сала-и-Мартином.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научного прогресса», от которых в конечном итоге и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Появившиеся позже модели Рамсея — Касса — Купманса и пересекающихся поколений преодолели недостаток экзогенности нормы сбережений — теперь эта величина определялась исходя из индивидуальных решений экономических агентов. Однако темп научного прогресса остался экзогенным в этих моделях, и во многом поэтому они тоже не смогли объяснить межстрановые различия. Модели, объясняющие экономический рост путём переопределения понятия «капитал», и включившие человеческий капитал в производственную функцию (например, модель Мэнкью — Ромера — Вейла) также не объясняют всех различий между темпами роста и уровнем развития разных стран, даже после учёта различий в человеческом капитале. Это показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса, Дж. Де Лонга, П. Ромера. Попытки прямого включения переменной научного прогресса в производственную функцию натолкнулись на ограничение, связанное с отдачей от масштаба. В условиях совершенной конкуренции при постоянной отдаче от масштаба доход фирмы полностью уходил на оплату труда и капитала. Поэтому будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер предложил использовать в моделях монополистическую конкуренцию для объяснения темпов технологического прогресса, с использованием которой он разработал модель растущего разнообразия товаров Существенным недостатком это модели было отсутствие перетока технологий между странами. На основании модели Ромера Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин, разработали модель распространения технологий, также известную как модель заимствования технологий, она была опубликована в работе «Распространение технологий, конвергенция и рост», изданной в июне 1995 года в NBER и в марте 1997 года — в журнале Journal of Economic Growth.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели присутствуют два типа стран: страна-лидер (англ. Leader) и страна-последователь (англ. Follower). Страна-лидер разрабатывает новые технологии, а страна-последователь имитирует технологии, заимствованные у лидера. Однако при этом в модели рассматривается закрытая экономика: экспорт и импорт товаров отсутствуют. Мобильность капитала между странами также отсутствует. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров, конечных товаров и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время $t$ изменяется непрерывно.

Трудовые ресурсы $L$, считающиеся в модели постоянными в стране-лидере, распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР:

$L_{1}=L_{1Y}+L_{1RD}$,

где $L_{1}$ — совокупные трудовые ресурсы в стране-лидере, $L_{1}=const$, $L_{1Y}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве в стране-лидере, которые в модели считаются постоянными во времени, $L_{1Y}=const$, $L_{1RD}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе в стране-лидере, $L_{1RD}=const$.

В стране-последователе трудовые ресурсы распределены аналогично:

$L_{2}=L_{2Y}+L_{2RD}$,

где $L_{2}$ — совокупные трудовые ресурсы в стране-последователе, $L_{2}=const$, $L_{2Y}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве в стране-последователе, которые в модели считаются постоянными во времени, $L_{2Y}=const$, $L_{2RD}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе в стране-последователе, $L_{2RD}=const$.

Производственная функция одинакова в двух странах, она обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица:

$Y_{t}=AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj$,

где $Y_{t}$ — выпуск конечного продукта, $A$ — уровень технологической производительности в экономике, $A=const$, $\alpha$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, $0<\alpha <1$, $\alpha =const$, $x_{j}$ — количество используемого $j$-го промежуточного продукта, $N_{t}$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени $t$.

$N_{1t}$ — количество промежуточных продуктов в стране-лидере, $N_{2t}$ — количество промежуточных продуктов в стране-последователе, $N_{1t_{0}}\geqslant N_{2t_{0}}$.

Физический капитал $K$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле:

$K_{t}=\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}dj$.

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: $P=1$. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: $p_{j}={\frac {P_{j}}{P}}$. Реальная заработная плата равна $w={\frac {W}{P}}$.

Инвестиции $I$ в модели в обеих странах равны сбережениям $S$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов:

$I_{t}={\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}$,

где $C_{t}=c_{t}L$ — совокупное потребление, $c_{t}$ — потребление на единицу труда в момент времени $t$, ${\dot {K}}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает в обеих странах постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса:

$U(c)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho t}{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}dt$,

где ${\frac {1}{\theta }}$ — эластичность замещения по времени, $\theta >0$, $\theta =const$, ${\rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >-1$, $\rho =const$. Функция удовлетворяет условиям $u'(c)>0,u''(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\ \lim _{c\to \infty }u'(c)=0$.

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида в обеих странах состоят из заработной платы $w$ и поступлений от активов $ra_{t}$. Активы индивида $a_{t}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка $r_{t}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:

$\lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0$,

где $a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида $a$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Равновесие и темпы роста в стране-лидере

Основная статья: модель растущего разнообразия товаров

Параметры общего экономического равновесия и темпы экономического роста в рассматриваемой модели в стране-лидере полностью аналогичны модели растущего разнообразия товаров. Функция спроса на $j$-й промежуточный продукт имеет вид:

$x_{1j}=x=L_{1Y}\left(A{\frac {\alpha }{p_{1x}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}$.

В результате решения задачи фирмы прибыль производителя промежуточного продукта в стране-лидере (${\pi }_{1x}$) равна:

${\pi }_{1x}=(1-{\alpha }){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac {1+{\alpha }}{1-{\alpha }}}A^{\frac {1}{1-{\alpha }}}L_{1Y}=const$.

В результате решения задачи потребителя, динамика потребления выглядит следующим образом:

${\frac {\dot {c_{1}}}{c_{1}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{1t}-{\rho })$,

где ${\dot {c}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения:

${\dot {N_{1}}}=bL_{1RD}N_{1t}$

где $b$ — производительность в научно-исследовательском секторе, $b=const$, ${\dot {N_{1}}}$ — производная количества промежуточных продуктов в стране-лидере по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров $N_{1t}$.

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента $q$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии $\eta$:

$q={\frac {w}{bN_{1}}}=const=\eta$.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента $q$ постоянна (${\dot {q}}=0$), потому:

$r_{1t}={\frac {\pi }{\eta }}$,

${\frac {\dot {c_{1}}}{c_{1}}}={\frac {\dot {Y_{1}}}{Y_{1}}}={\frac {\dot {K_{1}}}{K_{1}}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi _{1}}{\eta }}-{\rho }\right)={\frac {1}{\theta }}({\alpha }bL_{1Y}-{\rho })=g_{1}=const$,

где ${\dot {Y_{1}}}$ — производная выпуска в стране-лидере по времени.

Научно-исследовательский сектор в стране-последователе

Модель распространения технологий, функция издержек имитации продукта

Страна последователь может не только разрабатывать новые технологии, но и имитировать те, что уже разработаны в стране-лидере. Издержки имитации ($\nu$) ниже, чем издержки разработки новой технологии ($\eta$). Они описываются следующей функцией:

$\nu =\nu {\biggr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\biggl )},\nu <=\eta$

Чем больше разница между странами в количестве технологий, тем дешевле их имитации для страны-последователя:

${\frac {\partial \nu }{\partial {\frac {N_{2}}{N_{1}}}}}>0;{\frac {\partial ^{2}\nu }{\partial {\bigr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\bigl )}^{2}}}<0$.

Если же $N_{2}>=N_{1}$, то издержки имитации $\nu$ становятся равными издержкам разработки $\eta$. Пример функции, удовлетворяющей таким предпосылкам, приведён на иллюстрации.

В качестве примера функции издержек имитации часто используется функция с постоянной эластичностью:

$\nu ={\biggr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\biggl )}^{\phi }$,

где $0<\phi <1$ — эластичность издержек имитации по соотношению числа технологий.

Равновесие и темпы роста в стране-последователе

Задачи фирмы и потребителя в стране-последователе аналогичны задачам фирмы и потребителя в стране-лидере, в устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, потому:

${\frac {\dot {c_{2}}}{c_{2}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{2t}-{\rho })$

$r_{2t}={\frac {\pi _{2}}{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}$,

где ${\dot {\nu }}$ — производная издержек имитации по времени.

Таким образом, темпы экономического роста в стране-последователе равны:

${\frac {\dot {c_{2}}}{c_{2}}}={\frac {\dot {Y_{2}}}{Y_{2}}}={\frac {\dot {K_{2}}}{K_{2}}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi _{2}}{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}-{\rho }\right)=g_{2}$,

где ${\dot {Y_{2}}}$ — производная выпуска в стране-последователе по времени.

Далее вводится предпосылка о том, что прибыли монополистов в обеих странах одинаковы: $\pi _{1}=\pi _{2}=\pi$. В этом случае получается, что процентная ставка и темпы роста выпуска в стране-последователе выше, чем в стране лидере:

${\frac {\pi }{\eta }}<={\frac {\pi }{\nu }}<{\frac {\pi }{\nu }}+{\frac {\dot {\nu }}{\nu }}\Rightarrow r_{2}>r_{1}\Rightarrow g_{2}>g_{1}$

В том случае, если в качестве функции издержек имитации используется функция с постоянной эластичностью $\phi$, темпы роста в стране-последователе равны:

$g_{2}={\frac {g_{\nu }}{\phi }}+g_{1}$,

где $g_{\nu }$ — темп роста издержек имитации.

В итоге, мы получаем, что процентная ставка и темпы роста выпуска в стране-последователе выше, чем в стране-лидере. Поскольку ${\frac {\partial ^{2}\nu }{\partial {\bigr (}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}{\bigl )}^{2}}}<0$, темп роста издержек имитации со временем замедляется, а значит, со временем темпы роста и процентная ставка в стране-последователе снижаются до уровня страны-лидера.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Модель сохранила все преимущества модели растущего разнообразия товаров, в частности, явную спецификацию издержек и выгод от инвестиций в новые технологии и определение темпов экономического роста как последствия решений индивидов. Вместе с тем, модель растущего разнообразия товаров не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые. В модели распространения технологий ситуация иная: она предполагает наличие условной конвергенции в том случае, если структурные параметры их производственных функций одинаковы и если существует у страны-последователя возможность имитации технологии страны-лидера. Формулировка условий конвергенции выглядит похожей на условия конвергенции в модели Солоу, модели Рамсея — Касса — Купманса и модели пересекающихся поколений, которые предсказывают более оптимистичные темпы роста в развивающихся странах, чем наблюдающиеся на реальных данных. Однако условия конвергенции в модели распространения технологий существенно более жёсткие: требуется возможность имитации технологий, кроме того, в рамках этой модели схожесть структурных параметров означает не только схожие доли дохода труда и капитала в национальном доходе, но и также достаточно большой размер экономики страны, либо возможность экспорта товаров в достаточно большую развитую страну без значительных издержек. Эти условия выполняются, например, для экономики Китая в 1990-х и 2000-х годах, когда наблюдался существенный экономический рост.

От модели растущего разнообразия товаров модель распространения технологий также унаследовала и недостаток — зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов $L$, предполагающую, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, но это не нашло эмпирического подтверждения.

Реалистичен вывод модели относительно процентных ставок в стране-лидере и стране-последователе. Эмпирические данные свидетельствуют, что в развивающихся странах более высокая, но постепенно снижающаяся в долгосрочном периоде, процентная ставка, чем в развитых странах, в то время как в развитых странах процентная ставка стабильна.

Идею о том, что в модели растущего разнообразия товаров издержки заимствования могут быть ниже издержек имитации, была также высказана в работе Уильяма Истерли, Роберта Кинга, Росса Левина и Серджио Ребело, однако авторы сосредоточились на эффектах кредитно-денежной и фискальной политики, а не на распространении технологий между странами.

Стивен Паренте разработал версию модели, в которой обучение новой технологии происходит с некоторым лагом. Новая технология в ней сразу после внедрения используется не на 100 %, но с течением времени её КПД постепенно растёт, пока не достигнет 100 %. Потому переход к новой технологии сначала сопровождается падением общего уровня выпуска, но потом он растёт до более высокого, чем ранее, уровня. Так, например, внедрение электричества в США в XIX веке поначалу сопровождалось падением производительности.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9.
• Barro R. D., Sala-i-Martin X. Technological Diffusion, Convergence, and Growth // NBER Working Paper. — 1995. — № 5151. — doi:10.3386/w5151.
• Barro R. D., Sala-i-Martin X. Technological Diffusion, Convergence, and Growth // Journal of Economic Growth. — 1997. — № 2. — P. 1—26.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Easterly W. R., King R. G., Levine R., Rebelo S.. Policy, Technology Adoption, and Growth // NBER Working Paper. — 1994. — № 4681. — doi:10.3386/w4681.
• Grossman G., Helpman E. Innovation and Growth in the Global Economy. — Cambridge, MA: MIT Press, 1991. — ISBN 978-0-26207-136-9.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Jones C. I. R&D-Based Models of Economic Growth // Journal of Political Economy. — 1995. — Vol. 103, № 4. — P. 759—784.
• Parente S. T.. Technology Adoption, Learning-by-Doing, and Economic Growth // Journal of Economic Theory. — 1994. — Vol. 63, № 2. — P. 346—369. — doi:10.1006/jeth.1994.1046.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // NBER Working Paper. — 1989. — № 3210. — doi:10.3386/w3210.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy. — 1990. — Vol. 98, № 5. — P. 71—102.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.