Модель Рамсея — Касса — Купманса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модель Рамсея — Касса — Купманса (модель Рамсея) — неоклассическая модель равновесного эндогенного экономического роста, в которой «траектория» потребления и сбережений определяются на основе решения задачи оптимизации домашних хозяйств и фирм в условиях совершенной конкуренции.

История создания[править | править вики-текст]

В 1928 году вышла работа Ф.Рамсея «Математическая теория сбережений»[1], в которой было изложено условие оптимальности и межвременная функция полезности. Дэвид Касс[en] в работе 1965 года «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала»[2] и Т.Купманс в работе 1963 года «О концепции оптимального экономического роста»[3] внесли метод оптимального потребления в неоклассическую модель роста, задав эндогенное определение ставки сбережения, сформировав в общем модель Рамсея — Касса — Купманса[4].

Описание модели[править | править вики-текст]

В модели используется репрезентативное домашнее хозяйство с бесконечной продолжительностью существования. Анализируется динамика его потребительского и сберегательного поведения. Предполагается закрытая экономика с реальными переменными (в единицах товаров и услуг) в условиях совершенной конкуренции.

Задача потребительского выбора[править | править вики-текст]

Рассматривается репрезентативное домашнее хозяйство. Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы. Функция полезности этого индивида, представляющего все население имеет вид:

,

где  — потребление на душу населения в момент времени ;  — положительный коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Функция полезности является сепарабельной, то есть зависит только от потребления в этот момент. Кроме этого, предполагается что предельная полезность (производная ) является положительной и убывающей функцией и выполнены условия Инада — при стремлении потребления к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, а при стремлении потребления к бесконечности предельная полезность стремится к нулю.

Доходы «индивида» складываются из заработной платы и доходов от активов , принадлежащих ему и имеющих доходность (активы могут быть также и отрицательными, что отражает ситуацию чистого долга, причем ставка по заемным средствам предполагается одинаковой с доходностью положительных активов). При этом доходы тратятся либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережения). Таким образом, увеличение активов в единицу времени равно . Необходимо также учесть, что население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на . Таким образом, окончательно бюджетное ограничение индивида имеет вид:

.

Задача оптимизации поведения потребителя заключается в максимизации при данном ограничении. Используя принцип максимума Понтрягина строится функция Гамильтона:

и условия максимума:

и .

Отсюда выводится уравнение динамики потребления:

,

где  — эластичность предельной полезности по потреблению. Эта величина является положительной в силу положительности предельной полезности и отрицательности второй производной полезности (убывающая предельная полезность).

Для существования стационарного состояния необходимо, чтобы асимптотически стремилась к постоянной величине, поэтому в качестве функции полезности используют функцию следующего вида:

,

где  — постоянная.

Задача фирмы[править | править вики-текст]

Рассматривается репрезентативная фирма, производственная функция которой описывает совокупное предложение. Производственная функция является неоклассической и аналогичной производственной функции в модели Солоу: , где  — капитал,  — труд,  — эффективность труда. Предполагается, что эффективность труда растет с постоянным темпом .

В силу однородности производственной функции можно записать , где  — капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью. Тогда:

,
,

где в целях упрощения, предполагается, что эффективность труда в нулевой момент времени равна единице, поэтому динамика эффективности труда описывается как .

В условиях совершенной конкуренции предельные производительности по факторам производства равны ценам этих факторов. Цена трудовых ресурсов равна заработной плате , а цена капитала равна , где  — темп износа капитала. Тогда:

,
.

Общее экономическое равновесие[править | править вики-текст]

Поскольку рассматривается закрытая экономика, то капитал принадлежит резидентам и удельный капитал на одного работника равен активам .

По аналогии с моделью Солоу можно записать уравнение динамики капиталовооруженности труда с постоянной эффективностью:

,

где  — потребление на единицу труда с постоянной эффективностью.

Учитывая, что , исходя из решения задачи потребителя можно записать следующее уравнение:

,

или с учётом равенства , подставив выражение через и :

.

Данное дифференциальное уравнение вместе с дифференциальным уравнением для капиталовооруженности и определяют экономическую динамику в рамках данной модели.

Модифицированное золотое правило[править | править вики-текст]

В модели Солоу устанавливается золотое правило сбережений, максимизирующее потребление. В модели Рамсея это правило модифицируется и имеет вид:

,

что соответствует постоянному потреблению на единицу труда с постоянной эффективностью (или рост потребления на одного человека с темпом ).

Анализ модели[править | править вики-текст]

Модель объясняет основные макроэкономические закономерности, однако не объясняет причин мирового экономического роста. Общий долгосрочный рост в этой модели обеспечивает параметр эффективности труда, который не объясняется в модели, а задаётся экзогенно.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal. — December 1928. — P. 543–559.
  2. Cass D.[en] Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation // The Review of Economic Studies. — July, 1965. — P. 233-240.
  3. Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University. — December, 1963.
  4. Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. — 2010. — С. 27-30,115-184. — ISBN 978-5-94774-790-4.