Координаты вектора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

\vec{a}=\sum_{i=1}^n a_i \vec{e}_i
\vec{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

где a_1,a_2,\ldots,a_n — координаты вектора.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
  • Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z} \Rightarrow \vec{a} \| \vec{b}

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю.

  • Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
|\vec{a}|^2 = \sum_{i=1}^{n} a_i^2
  • При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:
k\vec{a}=\sum_{i=1}^n ka_i\vec{e}_i=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)
\vec{a}+\vec{b}=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)\vec{e}_i=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)
\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i b_i
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

где

\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)
\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)
(\vec a,\vec b,\vec c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}