Число Скьюза

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число $n$, такое, что начиная с него неравенство $\pi(n)<\mathrm{Li}(n)\,\!$ перестает выполняться, где $\pi(n)\,\!$ — количество простых чисел, не превосходящих $n\,\!$, $\mathrm{Li}(n)=\int\limits_2^n \frac{dt}{\ln(t)}$ — сдвинутый интегральный логарифм.

Джон Литтлвуд в 1914 дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

Стенли Скьюз в 1933 оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как $\exp^3(79) = e^{e^{e^{79}}} \approx \!\ 10^{10^{10^{34}}}\,\!$ — первое число Скьюза, обозначающееся $\mathrm{Sk}_1$.

В 1955 он же дал оценку без предположения о верности гипотезы Римана: $\exp^4(7.705) = e^{e^{e^{e^{7.705}}}}\approx 10^{10^{10^{963}}}$ — второе число Скьюза, обозначающееся $\mathrm{Sk}_2$. Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 Риел (H. J. J. te Riele) без предположения гипотезы Римана свёл число Скьюза к $e^{e^{27/4}}$, что приблизительно равно 8,185·10³⁷⁰.