Число Дотти

Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса.

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

$\cos x=x,$

где аргумент $\cos$ измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно $0,739085133215...$.

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции $x-\cos(x)$ равна $\sin(x)+1$ и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение $\cos x=x$ однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

Пусть $D$ — число Дотти. Тогда:

$\mathrm {sin} (D)\approx 0,673612029183$

$\mathrm {tg} (D)\approx 0,911413312094$

Свойства

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного $x$ число $\lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})$ равно константе Дотти. Уравнение $\cos z=z$ для комплексного $z$ имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда ${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}$, где $a_{n}$ для любого нечётного $n$ является рациональным числом, определённым следующим образом:

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n}}}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\end{aligned}}$

Первые несколько членов последовательности $(a_{n})$ равны $-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots$

Формула в Excel

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.

Ссылки

• Т. Миллер (1890) On the numerical values of the roots of the equation cosx = x
• Валерий Салов (2012) Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine
• Mohammad K. Azarian (2008) On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions