Число Грэма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Грэма (Грехема, англ. Graham's number) — большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.).

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема (предполагается, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка). Даже степенные башни вида a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}} бесполезны для этой цели, хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких как стрелочная нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грехемом. Последние 50 цифр числа Грехема — это ...03222348723967018485186439059104575627262464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грехема, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала.

Проблема Грехема[править | править вики-текст]

Число Грехема связано со следующей проблемой в теории Рамсея:

Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2^n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

Грехем и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, N^*, и показали что 6\leqslant N^* \leqslant N, где N — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как N = F^7(12) \,\!, где F(n) = 2\uparrow^{n} 3 \,\!.

Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что N^* должно быть не меньше 13. Таким образом, 13\leqslant N^* \leqslant N.

Предметом настоящей статьи является верхняя граница G, которая много слабее (то есть больше), чем N: G = f^{64}(4) \,\!, где f(n) = 3 \uparrow^n 3 \,\!. Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.

Определение числа Грехема[править | править вики-текст]

При использовании Стрелочной нотации Кнута число Грехема G может быть записано как

 
\left. 
 \begin{matrix} 
  G &=&3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\
    & &3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ 
    & & \underbrace{\qquad \;\; \vdots \qquad\;\;} \\ 
    & &3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdot \cdot \uparrow}3 \\
    & &3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3
 \end{matrix} 
\right \} \text {64 layers}

где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть

G = g_{64},\text{ где }g_1 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,\  g_n = 3 \uparrow ^{g_{n-1}}3,

где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g_1 с четырьмя стрелками между тройками, на втором — g_2 с g_1 стрелками между тройками, на третьем — g_3 с g_2 стрелками между тройками и так далее; в конце мы вычисляем G = g_{64} с g_{63} стрелок между тройками.

Это может быть записано как

G = f^{64}(4),\text{ где }f(n) = 3 \uparrow^n 3,

где верхний индекс у f означает итерации функций. Функция f является частным случаем гипероператоров f(n) = \text{hyper}(3,n+2,3) и может также быть записана при помощи цепных стрелок Конвея как f(n) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+2). Последняя запись также позволяет записать следующие граничные значения для G:

 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.

Масштаб числа Грехема[править | править вики-текст]

Для того, чтобы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g1) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетраций \uparrow\uparrow означает:

 
g_1 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 
= 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3) 
= 3 \uparrow\uparrow \Bigl(3 \uparrow\uparrow \bigl(3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots \bigr)\Bigr)

где число троек в выражении справа

3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 \ = \ 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3).

Теперь каждая тетрация (\uparrow\uparrow) по определению разворачивается в «степенную башню» как

3 \uparrow\uparrow X \ = \ 3 \uparrow \Bigl(3 \uparrow \bigl(3 \uparrow \dots (3 \uparrow 3) \dots \bigr)\Bigr) \ = \ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}, где X — количество 3-ек.

Таким образом,

g_1 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots )), где количество троек — 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3).

Оно может быть записано на языке степеней:


g_1 = 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}\end{matrix}
  \right \} 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
    \dots 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3
  \quad , где число башен —  \quad 
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
  \left. 
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3
,

где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.

Другими словами, g_1 вычисляется путём вычисления количества башен, n=3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}} (где число троек — 3^{3^{3}} = 7625597484987), и затем вычисления n башен в следующем порядке:

1-я башня: 3

2-я башня: 3↑3↑3 (количество троек — 3) = 7625597484987

3-я башня: 3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек — 7625597484987) = ...

.

.

.

g_1 = n-я башня: 3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек задаётся результатом вычисления (n-1)-й башни)

Масштаб первого члена, g_1, настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя n — это всего лишь количество башен в этой формуле для g_1, уже это число много больше количества объёмов Планка, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно 8{,}5\cdot 10^{185}). После первого члена нас ожидают ещё 63 члена стремительно растущей последовательности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets». Transactions of the American Mathematical Society 159: 257-292. DOI:10.2307/1996010. The explicit formula for N appears on p. 290.
  • Graham, R. L.; Rothschild, B.L. (1978). «Ramsey Theory», Studies in Combinatorics, Rota, G.-G., ed., Mathematical Association of America, 17:80-99. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.
  • Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». Scientific American 237: 18-28.; reprinted (revised 2001) in the following book:
  • Gardner Martin The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York, NY: Norton, 2001. — ISBN 0393020231
  • Gardner Martin Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1989. — ISBN 0-88385-521-6
  • Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete Computational Geometry 29: 223-227. DOI:10.1007/s00454-002-0780-5.

Ссылки[править | править вики-текст]