Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц $n_{i}$ с энергией $\varepsilon _{i}$ есть

$n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}$,

где $g_{i}$ — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией $\varepsilon _{i}$), $\mu$ — химический потенциал, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах $\mu$ равен энергии Ферми $E_{F}$. В этом случае, если $g_{i}=1$, выражение для числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

$F(\varepsilon ,T)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon -E_{F}}{kT}}\right)+1}}.$

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше $\mu$ растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при $\varepsilon =\mu$, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при $\varepsilon =\mu$ всегда $F=1/2$ независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака $F(\varepsilon ,T)$ задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция $F(\varepsilon ,T)$ ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» $\rho (\varepsilon )$ (Дж⁻¹ или Дж⁻¹м⁻³). Функция

$f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )$

является плотностью распределения (Дж⁻¹) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент $T$ опущен. В наиболее традиционных случаях $\rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}$.

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

$F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)$.

После подстановки плотности состояний $\rho (\varepsilon )$ и интегрирования по $\varepsilon$ от 0 до $+\infty$ выражение для $f$ примет вид

$f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon }}}{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)$.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица $A$ в состоянии 1 и частица $B$ в состоянии 2» и «частица $B$ в состоянии 1 и частица $A$ в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Сферы использования

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V\geqslant n_{q}$ (где $N$ — число частиц, $V$ — объём, $n_{q}$ — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

$n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon$,

где $E_{c}$ ($E_{v}$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

$j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon$,

где $\Theta$ — коэффициент прозрачности барьера, а $F_{L}$, $F_{R}$ — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из фермионов, находящихся на одном квантовом уровне. С учётом общих свойств фермионов как типа частиц, возможны лишь два варианта: наличие ровно одной частицы на обсуждаемом уровне или незанятость уровня.

Варианты различаются числом частиц — и поэтому для описания вероятностей $P_{yes}$, $P_{no}$ их реализации нужно привлечь распределение Гиббса с переменным числом частиц:

$P_{yes|no}=A\cdot \exp \left(-{\frac {E_{yes|no}-\mu N_{yes|no}}{kT}}\right)$,

где $N$ — число частиц, равное 1 в состоянии yes и 0 в состоянии no, а энергия состояния $E$ равна энергии уровня $\varepsilon _{i}$ при наличии (yes) и 0 при отсутствии (no) фермиона; $A$ — нормировочный множитель, подбираемый так, чтобы оказалось $P_{yes}+P_{no}=1$.

Следовательно,

$P_{yes}={\frac {P_{yes}}{P_{yes}+P_{no}}}=\left(1+\exp {\frac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)^{-1}$.

Смысл этого результата как раз и состоит в том, что рассматриваемый уровень заполнен с вероятностью (то есть «на долю») $P_{yes}$. Выражение $P_{yes}$ переобозначается как $n_{i}$, что и соответствует статистике Ферми — Дирака. При наличии вырождения оно домножается на фактор вырождения $g_{i}$, как констатировалось в преамбуле.

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру $T$ ниже температуры Ферми $T_{F}=E_{F}/k$, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация $\mu \approx E_{F}$. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция $\mu$ представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения $T/T_{F}<1$:

$\mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]$.

Отклонения при нарушении равновесия

Числа заполнения состояний, диктуемые формулой Ферми — Дирака, изменяются при отклонении системы от равновесия. Подобное отклонение возникает, в частности, при наложении электрического поля. Тем не менее некоторые из приведённых выше выражений, например для концентраций электронов и дырок $n$, $p$ или для туннельного тока, при этом сохраняют свою структуру, только функция $F(\varepsilon )$ становится иной.

Искажения $F(\varepsilon )$ в значительной доле случаев таковы, как если бы температура равнялась не $T$, а некоему эффективному более высокому значению $T_{eff}$, из-за чего говорят о горячих носителях заряда. При радикальных отклонениях от равновесия (например, в очень сильных полях, около $\sim 10^{6}$ В/см и выше) аналитический вид $F(\varepsilon )$ модифицируется более радикально, при этом резко возрастают числа заполнения (населённость) высокоэнергетичных состояний, а кривая $F(\varepsilon )$ деформируется. Такого рода ситуации возникают в полупроводниковых приборах в режимах близких к пробойным.

См. также

• Закон Видемана — Франца
• Интеграл Ферми — Дирака
• Распределение Максвелла
• Статистика Бозе — Эйнштейна