Телескопический признак

Телескопический признак (Признак сгущения Коши) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть для членов $f(n)$ ряда выполняется:

1. последовательность $\{f(n)\}$ монотонно убывает
2. $f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — члены неотрицательны

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$.

Доказательство

1. По условиям теоремы, последовательность членов $\{f(n)\}$ является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма $m$ членов, начиная с $f(n)$, не превосходит $m\cdot f(n)$:

$\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)$

Сгруппируем члены ряда $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f(2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n}).\end{aligned}}$

То есть, если ряд $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ сходится, то согласно признаку сравнения ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ тем более сходится.

2. Аналогично:

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1})} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aligned}}$

То есть если ряд $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ расходится, то согласно признаку сравнения ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ тем более расходится.

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).$

■

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ в данной теореме можно использовать любой ряд вида:

$\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})$, где $m\in \mathbb {N} ,m\geq 2$

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ ряд вида:

$\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})$, где $a\in \mathbb {R} ,a>1$

Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$.

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака:

Пусть для членов $f(n)$ ряда выполняется:

1. последовательность $\{f(n)\}$ монотонно убывает
2. $f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — члены неотрицательны

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядами $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ и $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$.

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года Конрад Кнопп сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть:

1. $\{f(n)\}$ — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
2. $f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ — последовательность неотрицательна
3. $\{u_{n}\}$ — некоторая строго возрастающая последовательность
4. $u_{n}\in \mathbb {N}$ (а значит, $u_{n}>0$) $\forall n$
5. последовательность $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$ ограничена

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится, одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$.

Данную теорему иногда приписывают Шлёмильху.

Например, если рассматривать последовательность $u_{n}=c^{n}$, которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном $c\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$, то согласно указанной теореме ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$, а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ сходится или расходится одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ при любой выбранной константе $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.