Теорема о сумме углов треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.


Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия[править | править вики-текст]

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.

Обобщение для симплексов[править | править вики-текст]

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если  — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

.

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и вектор в -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

Замечания[править | править вики-текст]

  • На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника.
  • В плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Разность также пропорциональна площади треугольника.

См. также[править | править вики-текст]