Теорема о сумме углов треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.


Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Следствия[править | править вики-текст]

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.

Обобщение в симплекс теории[править | править вики-текст]

 \begin{vmatrix}

-1 & \cos L_{12} & \cos L_{13} & \dots & cos L_{1(n+1)} \\
 cos L_{21} & -1 & cos L_{23} & \dots & cos L_{2(n+1)} \\
 cos L_{31} & cos L_{32} & -1 & \dots & cos L_{3(n+1)} \\
\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots&  \\
 cos L_{(n+1)1} & cos L_{(n+1)2} & cos L_{(n+1)3} & \dots & -1 \\
\end{vmatrix} = 0,где L_{ij} -угол между i и j гранями симплекса.

Замечание[править | править вики-текст]

Если в последнем определителе положить n=2, то получим случай параллелограмма (составленного из двух равных треугольников) в виде объема вырожденного в параллелограмм параллелепипеда, составленного тремя единичными компланарными векторами L_{i}:

 \begin{vmatrix}

-1 & \cos L_{12} & \cos L_{13}  \\
 cos L_{21} & -1 & cos L_{23}  \\
 cos L_{31} & cos L_{32} & -1  \\
\\
\end{vmatrix} = 0,где L_{ij} -угол между векторами L_{i} и L_{j}. Очевидно, этот объем равен нулю.

Кстати, последний определитель, как и предыдущий, это - так называемые определители - циркулянты, в которых любая следующая строка (столбец) получается циклической перестановкой элементов предыдущей строки (столбца).

Примечания[править | править вики-текст]

  • На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника.
  • В плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Разность также пропорциональна площади треугольника.

См. также[править | править вики-текст]