Умножение вектора на число

Умножение вектора на положительное (справа) и отрицательное (слева) число

Произведе́ние ве́ктора и числа́ (англ. scalar multiplication of a vector) в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого:

• модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
• направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ следующее:

$\mathbf {a} \lambda$ или $\lambda \mathbf {a} .$

В итоге получаем:

$|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.$

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

$\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .$

Источники

• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.